3. Considere a função g(t) = f(a + ht, b + kt) , com a, b, h e k constantes.

a) Supondo f(x, y) de classe C^2 num aberto de R^2 , verifique que

g''(t) = h^2 * (∂²f/∂x²(x, y) + 2hk * (∂²f/∂x∂y(x, y)) + k^2 * (∂²f/∂y²(x, y)))

Passo 1

Vamos calcular a primeira derivada primeiro, usando a regra da cadeia,

g ' t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t

Sabemos que x = a + h t e y = b + k t , então d x d t = h   e d y d t = k .

Ficamos com

g ' t = ∂ f ∂ x ( h ) + ∂ f ∂ y ( k )

Passo 2

Agora vamos calcular a segunda derivada usando a nossa amada regra da cadeia

g ' ' t = h ∂ ∂ x ∂ f ∂ x d x d t + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x d y d t + k ∂ ∂ x ∂ f ∂ y d x d t + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y d y d t

Substituindo d x d t = h   e d y d t = k

g ' ' t = h ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ( h ) + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ( k ) + k ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ( h ) + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y ( k )

Arrumando direitinho ficamos com

g ' ' t = h 2 ∂ 2 f ∂ x 2 + h k ∂ 2 f ∂ y   ∂ x + k h ∂ 2 f ∂ x   ∂ y + k 2 ∂ 2 f ∂ y 2

Como ele supôs aquele blá blá blá no início, podemos usar o Teorema de Schwarz que nos permite usar

∂ 2 f ∂ y   ∂ x = ∂ 2 f ∂ x   ∂ y

Chegamos, então, a

g ' ' t = h 2 ∂ 2 f ∂ x 2 + 2 h k ∂ 2 f ∂ y   ∂ x + k 2 ∂ 2 f ∂ y 2

Resposta

g ' ' t = h 2 ∂ 2 f ∂ x 2 + 2 h k ∂ 2 f ∂ y   ∂ x + k 2 ∂ 2 f ∂ y 2

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