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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 3a

3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,   b ,   h   e k constantes.

a) Supondo f ( x , y ) de classe C 2 num aberto de   R 2 , verifique que

g ' ' t = h 2 ∂ 2 f ∂ x 2 x , y + 2 h k ∂ 2 f ∂ x   ∂ y x , y + k 2 ∂ 2 f ∂ y 2 ( x , y )

Passo 1

Vamos calcular a primeira derivada primeiro, usando a regra da cadeia,

g ' t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t

Sabemos que x = a + h t e y = b + k t , então d x d t = h   e d y d t = k .

Ficamos com

g ' t = ∂ f ∂ x ( h ) + ∂ f ∂ y ( k )

Passo 2

Agora vamos calcular a segunda derivada usando a nossa amada regra da cadeia

g ' ' t = h ∂ ∂ x ∂ f ∂ x d x d t + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x d y d t + k ∂ ∂ x ∂ f ∂ y d x d t + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y d y d t

Substituindo d x d t = h   e d y d t = k

g ' ' t = h ∂ ∂ x ∂ f ∂ x ( h ) + ∂ ∂ y ∂ f ∂ x ( k ) + k ∂ ∂ x ∂ f ∂ y ( h ) + ∂ ∂ y ∂ f ∂ y ( k )

Arrumando direitinho ficamos com

g ' ' t = h 2 ∂ 2 f ∂ x 2 + h k ∂ 2 f ∂ y   ∂ x + k h ∂ 2 f ∂ x   ∂ y + k 2 ∂ 2 f ∂ y 2

Como ele supôs aquele blá blá blá no início, podemos usar o Teorema de Schwarz que nos permite usar

∂ 2 f ∂ y   ∂ x = ∂ 2 f ∂ x   ∂ y

Chegamos, então, a

g ' ' t = h 2 ∂ 2 f ∂ x 2 + 2 h k ∂ 2 f ∂ y   ∂ x + k 2 ∂ 2 f ∂ y 2

Resposta

g ' ' t = h 2 ∂ 2 f ∂ x 2 + 2 h k ∂ 2 f ∂ y   ∂ x + k 2 ∂ 2 f ∂ y 2

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Seja F r ,θ ,t = f ( x ,y ,t ) onde x = r c o s θ e y = r s e n θ . Suponha que ( c ≠ 0 constante) ∂ 2 f ∂ t 2 = c 2∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 . Mostre que ∂ 2 F ∂ t 2 = c 2∂ 2 F ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ 2 F ∂
Sejam z = z x , y , x = e u cos ⁡ ( v ) e y = e u s e n ( v ) . Suponha que ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 = 0 . Calcule ∂ 2 z ∂ u + ∂ 2 z ∂ v 2
Suponha que z = z ( x , y ) satisfaça a equação x 2 ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + 2 x y ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y - x ∂ z x , y ∂ x = x 3 y 2 . Fazendo a mudança de variáveis x = e u , y = e v . Calcule ∂ 2 z x , y ∂
Verifique que a mudança de variáveis x = s c o s θ - t s e n ( θ ) , y = s sen ⁡ θ + t c o s ( θ ) com θ constante , transforma a equação ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 ( u = u ( x , y ) ) Em ∂ 2 u ∂ s
Verifique que a mudança de variáveis u = x + y , v = y + 2 x transforma a equação ∂ 2 z u , v ∂ x 2 - 3 ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y + 2 ∂ 2 z x , y ∂ y 2 = 0 Em, ∂ 2 z u , v ∂ u ∂ v = 0