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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 8

8. Seja v (r , theta) = u ( x , y ) , onde x = r cos theta e y = r s e n theta . Verifique que

(del^2 u)/(del x^2) + (del^2 u)/(del y^2) = (del^2 v)/(del r^2) + (1)/(r) (del v)/(del r) + (1)/(r^2) (del^2 v)/(del theta^2) .

Passo 1

Vamos calcular as derivadas do lado direito da equação pra facilitar a nossa vida, porque se fossemos calcular as do lado esquerdo, teríamos que usar r = (x)/(cos theta) e theta = ... (Que só Deus sabe).

Vamos calcular primeiro (del v)/(del r) e (del v)/(del theta) .

(del v)/(del r) = (del u)/(del x) (del x)/(del r) + (del u)/(del y) (del y)/(del r)

(del v)/(del theta) = (del u)/(del x) (del x)/(del theta) + (del u)/(del y) (del y)/(del theta)

Como x = r cos theta e y = r s e n theta , Então

(del x)/(del r) = cos theta , (del y)/(del r) = s e n theta , (del x)/(del theta) = - r sen theta e (del y)/(del v) = r c o s theta .

Substituindo (del x)/(del r) = cos theta , (del y)/(del r) = s e n theta , (del x)/(del theta) = - r sen theta e (del y)/(del v) = r c o s theta , ficamos com

(del v)/(del r) = (del u)/(del x) ( cos theta ) + (del u)/(del y) ( s e n theta )

(del v)/(del theta) = (del u)/(del x) ( - r sen theta ) + (del u)/(del y) ( r c o s theta )

Arrumando

(del v)/(del r) = cos theta (del u)/(del x) + s e n theta (del u)/(del y)

(del v)/(del theta) = - r sen theta (del u)/(del x) + r c o s theta (del u)/(del y)

Passo 2

Vamos calcular a segunda derivada (del^2 v)/(del r^2) e (del^2 v)/(del theta^2) .

Vamos calcular primeiro (del^2 v)/(del r^2) . (PS: atenção, pois parece ser indipendente de r, nos fazendo achar que (del^2 v)/(del r^2) = 0 , PORÉM, u depende de r, então (del u)/(del x) e (del u)/(del y) , consequentemente, também dependem de r )

(del^2 v)/(del r^2) = cos theta ((del)/(del x) ((del u)/(del x)) (del x)/(del r) + (del)/(del y) ((del u)/(del x)) (del y)/(del r)) + s e n theta ((del)/(del x) ((del u)/(del y)) (del x)/(del r) + (del)/(del y) ((del u)/(del y)) (del y)/(del r))

Substituindo (del x)/(del r) = cos theta , (del y)/(del r) = s e n theta , ficamos com

(del^2 v)/(del r^2) = cos theta ((del)/(del x) ((del u)/(del x)) ( cos theta ) + (del)/(del y) ((del u)/(del x)) ( s e n theta )) + s e n theta ((del)/(del x) ((del u)/(del y)) ( cos theta ) + (del)/(del y) ((del u)/(del y)) ( s e n theta ))

Arrumando

(del^2 v)/(del r^2) = cos^2 theta (del^2 u)/(del x^2) + cos theta s e n theta (del^2)/(del y del x) + s e n theta cos theta (del^2)/(del x del y) + s e n^2 theta (del^2 u)/(del y^2)

Vamos calcular, então (del^2 v)/(del theta^2) usando a Regra do Produto e a Regra da Cadeia, que vai dar um bom trabalho, em compensação

(del^2 v)/(del theta^2) = - r cos theta (del u)/(del x) - r sen theta ((del)/(del x) ((del u)/(del x)) (del x)/(del theta) + (del)/(del y) ((del u)/(del x)) (del y)/(del theta)) + r (- s e n theta) (del u)/(del y) + r cos theta ((del)/(del x) ((del u)/(del y)) (del x)/(del theta) + (del)/(del y) ((del u)/(del y)) (del y)/(del theta))

Substituindo, (del x)/(del theta) = - r sen theta e (del y)/(del theta) = r c o s theta , ficamos com

(del^2 v)/(del theta^2) = - r cos theta (del u)/(del x) - r sen theta ((del)/(del x) ((del u)/(del x)) ( - r sen theta ) + (del)/(del y) ((del u)/(del x)) ( r c o s theta )) + r (- s e n theta) (del u)/(del y) + r cos theta ((del)/(del x) ((del u)/(del y)) ( - r sen theta ) + (del)/(del y) ((del u)/(del y)) ( r c o s theta ))

Arrumando

(del^2 v)/(del theta^2) = - r cos theta (del u)/(del x) + r^2 sen^2 theta (del^2 u)/(del x^2) - r^2 s e n theta cos theta del^2 (del^2 u)/(del y del x) - r s e n theta (del u)/(del y) + r^2 sen theta cos theta (del^2 u)/(del y del x) + r^2 cos^2 theta (del^2 u)/(del y^2)

Portanto

(del^2 v)/(del r^2) + (1)/(r) (del v)/(del r) + (1)/(r^2) (del^2 v)/(del theta^2) = (del^2 u)/(del x^2) + (del^2 u)/(del y^2)

Resposta

(del^2 v)/(del r^2) + (1)/(r) (del v)/(del r) + (1)/(r^2) (del^2 v)/(del theta^2) = (del^2 u)/(del x^2) + (del^2 u)/(del y^2)

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Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , mostre que ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 = ∂ 2 z ∂ r 2 + 1
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1. Expresse g ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g dada pora) g t = ∂ f ∂ x x , y ,x = t 2 e y = s e n t .
1. Expresse g ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g dada porb) g t = t 3 ∂ f ∂ x ( 3 t , 2 t )