8. Seja , onde . Verifique que
Passo 1
Vamos calcular as derivadas do lado direito da equação pra facilitar a nossa vida, porque se fossemos calcular as do lado esquerdo, teríamos que usar e ... (Que só Deus sabe).
Vamos calcular primeiro
Como e Então
, , e .
Substituindo , , e , ficamos com
Arrumando
Passo 2
Vamos calcular a segunda derivada e .
Vamos calcular primeiro. (PS: atenção, pois parece ser indipendente de r, nos fazendo achar que PORÉM, u depende de r, então e , consequentemente, também dependem de r )
Substituindo , , ficamos com
Arrumando
Vamos calcular, então usando a Regra do Produto e a Regra da Cadeia, que vai dar um bom trabalho, em compensação
Substituindo, e , ficamos com
Arrumando
Portanto
Resposta
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Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Mostre que qualquer função da formaz = f(x + at) + g(x - at) é solução da equação de onda∂²z/∂t² = a² * (∂²z/∂x²
Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.Se z = f(x, y) , onde x = r * cos(θ) e y = r * sen(θ) , mostre que(∂^2 z)/(∂x^2) + (∂^2 z)/(∂y^2) = (∂^2 z)/(∂r^
5. Considere a função z = ∂f/∂x | x, sen 3x. Verifique quedz/dx = ∂²f/∂x² (x, sen(3x)) + 3 cos(3x) ∂²f/∂y∂x (x, sen(3x)) .
1. Expresse g ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g dada pora) g t = ∂ f ∂ x x , y ,x = t 2 e y = s e n t .
1. Expresse g'(t) em termos de derivadas parciais de f , sendo g dada porb) g(t) = t^3 * (∂f/∂x)(3t, 2t)