Utilize um computador para traçar o gráfico da função, usando vários pontos de vista e tamanhos de janela. Comente o comportamento da função no limite. O que acontece quando x e y se tornam muito grandes? O que acontece quando (x, y) se aproxima da origem?

f(x, y) = (xy) / (x^2 + y^2)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

f x , y = x y x 2 + y 2

Queremos traçar o seu gráfico em vários pontos de vista para podermos comentar sobre o o comportamento da função nos limites:

lim x , y → ∞ ⁡ x y x 2 + y 2

lim x , y → 0 ⁡ x y x 2 + y 2

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Utilizando uma ferramenta gráfica para plotar o gráfico em algumas perspectivas e janelas, temos:

Agora vamos analisar os limites!!

Passo 3

Vamos analisar o limite:

lim x , y → ∞ ⁡ x y x 2 + y 2

Quando somente uma das variáveis → ∞ , que seria seguir por um eixo até o e a outra variável em um valor próximo, temos que para ambas as variáveis esse limite é f → 0 .

Agora se pensarmos nas duas variáveis → ∞ a função parece tender a um valor, sendo que quando as variáveis tem o mesmo sinal esse valor e positivo e caso contrário é negativo.

Passo 4

Vamos analisar o limite:

lim x , y → 0 ⁡ x y x 2 + y 2

Quando a função de aproxima da origem, dependendo do caminho que nos aproximarmos, chegaremos em um limite diferente, então o limite na origem não existe.

Resposta

Quando somente uma das variáveis → ∞ , que seria seguir por um eixo até o e a outra variável em um valor próximo, temos que para ambas as variáveis esse limite é f → 0 . Agora se pensarmos nas duas variáveis → ∞ a função parece tender a um valor, sendo que quando as variáveis tem o mesmo sinal esse valor e positivo e caso contrário é negativo.

Quando a função de aproxima da origem, dependendo do caminho que nos aproximarmos, chegaremos em um limite diferente, então o limite na origem não existe.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados