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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 5

5. Suponha que, para todo x , f 3 x ,   x 3 = a r c t g x .

a) Calcule ∂ f ∂ x 3,1 admitindo ∂ f ∂ y 1,3 = 2

b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 3 ,   1 ,   f 3,1

Passo 1

Pra não confundirmos as variáveis, vamos trocar x por t , beleza?!

F t = f 3 t ,   t 3 = a r c t g t

Pra começar, vamos escrever F ' ( t ) em termos de derivadas parciais, olha só:

d F d t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t

Pra gente não se enrolar, vamos começar calcular o lado esquerdo:

d F d t

Como F ( t ) = a r c t g ( t ) :

d F d t = 1 1 + t 2

Agora vamos calcular d x d t e d y d t .

  f 3 t ,   t 3

Então d x d t :

d x d t = 3

Então d y d t :

d y d t = 3 t 2

Passo 2

Então temos o seguinte:

d F d t = ∂ f ∂ x 3 t ,   t 3 d x d t + ∂ f ∂ y 3 t ,   t 3 d y d t

Reescrevendo com o que achamos no Passo 2:

1 1 + t 2 = 3 ∂ f ∂ x 3 t ,   t 3 + 3 t 2 ∂ f ∂ y 3 t ,   t 3

Sabemos que ∂ f ∂ y 1,3 = 2 . Então vamos fazer t = 1

1 1 + 1 = 3 ∂ f ∂ x 3 ,   1 + 3 × 2

Logo,

∂ f ∂ x 3 ,   1 = 1 3 × 1 2 - 6 = 1 3 × - 11 2

Portanto,

∂ f ∂ x 3 ,   1 = - 11 6

Passo 3

Pra finalizar, queremos o plano tangente ao gráfico de f no ponto 3 ,   1 ,   f 3,1

f 3 x ,   x 3 = a r c t g x

Fazendo x = 1 :

f 3,1 = a r c t g 1

Assim,

f 3,1 = π 4

Então o ponto fica o seguinte:

P = 3 ,   1 , π 4

Agora vamos achar o vetor normal. Para isso, vamos achar o vetor gradiente no ponto P

f x , y = f 3 x ,   x 3

Nesse caso, vamos fazer o seguinte:

F x , y , z = 3 x , x 3 , z

Achando o gradiente:

∇ F x , y , z = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y ,   - 1

Aplicando no ponto P e

n → = ∇ F ∂ f ∂ x 3 ,   1 ,   ∂ f ∂ y 3 ,   1 , - 1

Usando o resultado do Passo 2:

n → = ∇ F - 11 6 ,   2 , - 1

Logo,

n → = - 11 6 ,   2 , - 1

Passo 4

Agora é só achar o plano!

x - x 0 ,   y - y 0 , z - z 0 ⋅ n → = 0

Então,

x - 3 ,   y - 1 , z - π 4 ⋅ - 11 6 ,   2 ,   - 1 = 0

Portanto,

- 11 6 x - 3 + 2 y - 1 - z - π 4 = 0

Resposta

a)

∂ f ∂ x 3 ,   1 = - 11 6

b)

- 11 6 x - 3 + 2 y - 1 - z - π 4 = 0

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