5. Suponha que, para todo x , f 3 x ,x 3 = a r c t g x . a) Calcule ∂ f ∂ x 3,1 admitindo ∂ f ∂ y 1,3 = 2 b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 3 ,1 ,f 3,1

a) ∂ f ∂ x 3 ,1 = - 11 6 b) - 11 6 x - 3 + 2 y - 1 - z - π 4 = 0

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 5

5. Suponha que, para todo , .

a) Calcule admitindo

b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto

Passo 1

Pra não confundirmos as variáveis, vamos trocar por , beleza?!

Pra começar, vamos escrever em termos de derivadas parciais, olha só:

Pra gente não se enrolar, vamos começar calcular o lado esquerdo:

Como :

Agora vamos calcular e .

Então :

Passo 2

Então temos o seguinte:

Reescrevendo com o que achamos no Passo 2:

Sabemos que . Então vamos fazer

Logo,

Portanto,

Passo 3

Pra finalizar, queremos o plano tangente ao gráfico de no ponto

Fazendo :

Assim,

Então o ponto fica o seguinte:

Agora vamos achar o vetor normal. Para isso, vamos achar o vetor gradiente no ponto

Nesse caso, vamos fazer o seguinte:

Achando o gradiente:

Aplicando no ponto e

Usando o resultado do Passo 2:

Logo,

Passo 4

Agora é só achar o plano!

Então,

Portanto,

Resposta

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15. Seja g dada por g (t) = f (x , y) s e n ( 3 t ) , onde x = 2 t e y = 3 t . Verifique queg^' (t) = 3 f (x , y) cos (3 t) + s e n (3 t) [2 (del f)/(del x) (x , y) + 3 (del f)/(del y) (x , y)]

13. Prove que a função u = f ( x + a t ,y + b t ) , a e b constantes, é solução da equação a derivadas parciais ∂ u ∂ t = a ∂ u ∂ x + b ∂ u ∂ y

Calcule d z d t pelos dois processos descritos no exemplo 2 .b) z = x 2 + 3 y 2 , x = s e n ( t ) , y = c o s ( t )

17. Seja g dada por g (x , y) = (x^2 + y^2) f (u , v) , onde u = 2 x e v = x + 2 y . Verifique que(del g)/(del x) = 2 x f (u , v) + (x^2 + y^2) [2 (del f)/(del u) + (del f)/(del v)]