17. Seja g dada por g(x, y) = (x^2 + y^2) f(u, v) , onde u = 2x e v = x + 2y . Verifique que

∂g/∂x = 2x\*f(u, v) + (x^2 + y^2)[2\*∂f/∂u + ∂f/∂v]

Passo 1

Nossa função é a seguinte:

g x , y = x 2 + y 2 f u , v

Como u = 2 x e v = x + 2 y :

g x , y = x 2 + y 2 f u , v

Como temos um produto de funções, vamos usar a regra do produto para poder derivar. Vem comigo!

∂ g ∂ x = 2 x + 0 × f u , v + x 2 + y 2 ∂ f u , v ∂ x

Isto é,

∂ g ∂ x = 2 x f 2 x , x + 2 y + x 2 + y 2 ∂ f u , v ∂ x  

Agora vamos partir para achar ∂ f u , v ∂ x .

Passo 2

∂ f ∂ x u ,   v = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x +   ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x

Do enunciado, temos:

u = 2 x

Derivando em relação a x :

∂ u ∂ x = 2

Agora vamos ver para o v

v = x + 2 y

Derivando em relação a y :

∂ v ∂ x = 1

Substituindo na primeira Equação desse Passo:

∂ f ∂ x u ,   v = 2 ∂ f ∂ u +   ∂ f ∂ v

Passo 3

Agora vamos juntar com que achamos no Passo 1.

∂ g ∂ x = 2 x f 2 x , x + 2 y + x 2 + y 2 ∂ f u , v ∂ x

Assim,

∂ g ∂ x = 2 x f 2 x , x + 2 y + x 2 + y 2 2 ∂ f ∂ u +   ∂ f ∂ v

Então ta verificado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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