17. Seja g dada por g(x, y) = x^2 + y^2 f(u, v) , onde u = 2x e v = x + 2y . Verifique que

∂g/∂x = 2x * f(u, v) + [ x^2 + y^2 ] [ 2 * ∂f/∂u + 2 * ∂f/∂v ]

Passo 1

Nossa função é a seguinte:

g (x , y) = (x^2 + y^2) f (u , v)

Como u = 2 x e v = x + 2 y :

g (x , y) = (x^2 + y^2) f (u , v)

Como temos um produto de funções, vamos usar a regra do produto para poder derivar. Vem comigo!

(del g)/(del x) = (2 x + 0) xx f (u , v) + (x^2 + y^2) (del f (u , v))/(del x)

Isto é,

(del g)/(del x) = 2 x f (2 x , x + 2 y) + (x^2 + y^2) (del f (u , v))/(del x)

Agora vamos partir para achar (del f (u , v))/(del x) .

Passo 2

(del f)/(del x) (u , v) = (del f)/(del u) (del u)/(del x) + (del f)/(del v) (del v)/(del x)

Do enunciado, temos:

u = 2 x

Derivando em relação a x :

(del u)/(del x) = 2

Agora vamos ver para o v

v = x + 2 y

Derivando em relação a y :

(del v)/(del x) = 1

Substituindo na primeira Equação desse Passo:

(del f)/(del x) (u , v) = 2 (del f)/(del u) + (del f)/(del v)

Passo 3

Agora vamos juntar com que achamos no Passo 1.

(del g)/(del x) = 2 x f (2 x , x + 2 y) + (x^2 + y^2) (del f (u , v))/(del x)

Assim,

(del g)/(del x) = 2 x f (2 x , x + 2 y) + (x^2 + y^2) (2 (del f)/(del u) + (del f)/(del v))

Então ta verificado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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