15. Seja g dada por g(t) = f(x, y) * sen(3t) , onde x = 2t e y = 3t . Verifique que

g'(t) = 3 * f(x, y) * cos(3t) + sen(3t) [ 2 * ( ∂f/∂x (x, y) + 3 * ∂f/∂y (x, y)) ]

Passo 1

Nossa função é a seguinte:

g (t) = f (x , y) s e n (3 t)

Como temos um produto de funções, vamos usar a regra do produto para poder derivar. Vem comigo!

g ' ( t ) = [f (x , y)]^' s e n (3 t) + f (x , y) cos (3 t) xx 3

Isto é,

g ' ( t ) = [f (x , y)]^' s e n (3 t) + 3 f (x , y) cos (3 t)

Agora vamos partir para achar [f (x , y)]^' .

Passo 2

Do enunciado a gente sabe o seguinte:

x = 2 t e y = 3 t

Substituindo na expressão de f :

f (2 t , 3 t)

Derivando, temos:

[f (2 t , 3 t)]^' = 2 (del f)/(del x) (2 t , 3 t) + 3 (del f)/(del y) (2 t , 3 t)

Passo 3

Agora vamos juntar com que achamos no Passo 1.

g ' ( t ) = [f (2 t , 3 t)]^' s e n (3 t) + 3 f (x , y) cos (3 t)

Assim,

g ' ( t ) = [2 (del f)/(del x) (2 t , 3 t) + 3 (del f)/(del y) (2 t , 3 t)]^' s e n (3 t) + 3 f (x , y) cos (3 t)

Voltando para as variáveis x e y e colocando na ordem do enunciado:

g^' (t) = 3 f (x , y) cos (3 t) + s e n (3 t) [2 (del f)/(del x) (x , y) + 3 (del f)/(del y) (x , y)]

Então ta verificado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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