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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 13

13. Prove que a função u = f ( x + a t ,   y + b t ) , a e b constantes, é solução da equação a derivadas parciais

∂ u ∂ t = a ∂ u ∂ x + b ∂ u ∂ y

Passo 1

Nossa função é a seguinte:

u = f x + a t ,   y + b t

Pra facilitar nossa vida, vamos fazer uma substituição de variável. Vem comigo!

m = x + a t e n = y + b t

Derivando em relação a x :

∂ m ∂ x = 1

Em relação a t :

∂ m ∂ t = a

Agora vamos ver como fica o segundo termo:

n = y + b t

Derivando em relação a y :

∂ n ∂ y = 1

Em relação a t :

∂ n ∂ t = b

Passo 2

Então nossa função fica:

u = f m , n

Para encontrar ∂ u ∂ x vamos derivar em relação a x . Assim,

∂ u ∂ t = ∂ u ∂ m ∂ m ∂ t +   ∂ u ∂ n ∂ n ∂ t

Do Passo 1, temos:

∂ m ∂ t = a e ∂ n ∂ t = b

Logo,

∂ u ∂ t = ∂ u ∂ m a +   ∂ u ∂ n b

Passo 3

Mas o enunciado nos disse o seguinte:

∂ u ∂ t = a ∂ u ∂ x + b ∂ u ∂ y

E por enquanto temos:

∂ u ∂ t = ∂ u ∂ m a +   ∂ u ∂ n b     ( i )

Mas do Passo 1:

∂ m ∂ x = 1 e ∂ n ∂ y = 1

Pela regra de cadeia:

∂ u ∂ m =   ∂ u ∂ x ∂ x ∂ m →   ∂ u ∂ m = ∂ u ∂ x

Além disso,

∂ u ∂ n =   ∂ u ∂ y ∂ y ∂ n →   ∂ u ∂ m = ∂ u ∂ y

Substituindo em ( i ) :

∂ u ∂ t = ∂ u ∂ x a + ∂ u ∂ y b

Então provamos! 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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21. Seja g t = f 3 t 2 ,t 3 ,e 2 t ; suponha ∂ f ∂ z 0 , 0,1 = 4 a) Expresse g ' t em termos das derivadas parciais de f . b) Calcule g ' 0 .
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23. Suponha que, para todo x , y ,f x , y ,x 2 + y 2 = 0 . Mostre que ∂ f ∂ x 1,1 , 2 = ∂ f ∂ y ( 1,1 , 2 )
11. Seja z = f ( u -v ,v - u ) . Verifique que ∂ z ∂ u + ∂ z ∂ v = 0
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