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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 5-a

5. Um tanque contém 100 galões de água e 50 onças* de sal. Água contendo uma concentração de sal de (¼) [1 + (½)sent] onças por galão entra no tanque a uma taxa de 2 galões por minuto, e a mistura sai do tanque à mesma taxa.(a) Encontre a quantidade de sal no tanque em qualquer instante. (b) Desenhe o gráfico da solução por um período de tempo longo o suficiente para que vocêveja o comportamento final do gráfico.(c) O comportamento da solução para períodos longos de tempo é uma oscilação em torno deum nível constante. Qual é esse nível? E qual é a amplitude da oscilação?

Passo 1

A equação diferencial que resolve esse problema pode ser encontrada na seção deste livro, mas podemos escrever como

d Q d t = T a x a   d e   E n t r a d a - T a x a   d e   S a i d a

d Q d t = γ r - r Q V

Onde Q é a concentração do nosso material

d Q d t é a variação dessa concentração

γ é a concentração do volume do líquido que entra

r é a vazão de água que entra no tanque, se entrar a mesma quantidade que sai, logo podemos repetir r nos 2 termos

V é o volume do tanque

A solução dessa equação também pode ser encontrada nessa seção e podemos escrever como

d Q d t = γ r - r Q V

Vamos utilizar os dados do problema para completar essa equação

d Q d t = 1 4 [ 1   + 1 2 s e n t 2 - 2 Q 100

d Q d t = 1 2 + 1 4 sen ⁡ t - Q 5 0

Temos agora uma equação que não é mais separável. Vamos precisar usar outro método para resolver. O método Do Fator Integrante!!!! Ele é bem simples e consiste em deixar nossa função com a seguinte cara

y ' + p t y = q t

Onde a solução tem o seguinte formato

y = 1 I t ∫ I t   q t d t + C

Onde nossa função I t   é

I t = e ∫ P t d t

Belezinha? Vamos cair dentro então \o/

Passo 2

Vamos primeiro ordenar nossa função para deixar com o formato padrão

d Q d t = 1 2 + 1 4 sen ⁡ t - Q 50

Q ' + Q 50 = 1 2 + 1 4 sen ⁡ t

Agora é a hora de calcularmos o termo integrante

I t = e ∫ P t d t

I t = e ∫ 1 / 50 d t

I t = e t 50

Agora sim podemos integrar nossa equação

Q = 1 I t ∫ I t   q t d t + C

Q = 1 e t 50 ∫ e t 50   1 2 + 1 4 sen ⁡ t d t + C

Essa é uma integral mais chata porque temos duas funções que são cíclicas, vamos precisar fazer muitas manipulações aqui.

Q = 1 e t 50 ∫ 1 2 e t 50 + 1 4 e t 50 sen ⁡ t   d t + C

Q = 1 e t 50 50 2 e t 50 + 1 4 ∫ e t 50 sen ⁡ t   d t + C

Essa integral vamos precisar olhar com mais atenção. Teremos que fazer Integração por partes

∫ e t 50 sen ⁡ t   d t = 50 e t 50 sen ⁡ t - 50 ∫ e t 50 cos ⁡ t   d t

Agora vamos precisar fazer mas uma Integração por partes

∫ e t 50 cos ⁡ t   d t = 50 e t 50 cos ⁡ t - 50 ∫ e t 50 ( - sen ⁡ t )   d t

Entao podemos escrever como

∫ e t 50 sen ⁡ t   d t =   50 e t 50 sen ⁡ t - 50 50 e t 50 cos ⁡ t - 50 ∫ e t 50 ( - sen ⁡ t )     d t

2501 ∫ e t 50 sen ⁡ t   d t =     50 e t 50 sen ⁡ t - 2500   e t 50 cos ⁡ t

∫ e t 50 sen ⁡ t   d t =   50 e t 50 sen ⁡ t - 2500   e t 50 cos ⁡ t 2501

Por fim, finalmente podemos escrever nossa função como

Q = 1 e t 50 50 2 e t 50 + 1 4   50 e t 50 sen ⁡ t - 2500   e t 50 cos ⁡ t 2501 + C

Podemos simplificar como

Q = 25 + 1 4   50 sen ⁡ t - 2500 cos ⁡ t 2501 + C e t 50

Conseguimos !!!!

Passo 3

Vamos agora usar os dados de contorno para resolver nosso problema. Sabemos que

Q 0 = 5 0

Com isso podemos encontrar o valor de C

Q = 25 + 1 4   50 sen ⁡ t - 2500 cos ⁡ t 2501 + C e t 50

50 = 25 + 1 4 - 2500 2501 + C

C = 25 + 1 4 2500 2501

Vamos aproximar o valor de C

C = 2 5,5

Com isso nossa equação fica

Q = 25 +   50 sen ⁡ t - 2500 cos ⁡ t 2501 + 25,5 e t 50

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Q = 25 +   50 sen ⁡ t - 2500 cos ⁡ t 2501 + 25,5 e t 50

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