Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Questões para guiar sua revisão - Ex. 21

Como o teorema de Green, o teorema de Stokes e o teorema

da divergência podem ser considerados formas de um único

teorema fundamental?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Algumas questões são norteadoras em nossos estudos. Por exemplo, você sabe como o teorema de Green, Stokes e teorema da divergência podem ser pensados como formas de um único teorema fundamental? Vamos às explicações!

Passo 2

A seção faz uma dedução para unificar os teoremas de Green, Stokes e teorema da divergência, se iniciando no teorema fundamental do cálculo, levando a uma adaptação do teorema do cálculo para a forma, observe:

Passo 3

Assim, o teorema fundamental de unificação desse teorema diz que:"A integral de um operador diferencial agindo em um campo sobre uma região é igual à soma das componentes desse campo apropriado para o operador sobre a fronteira da região."

Resposta

Resposta nos passos.

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Seja F → x , y , z = ( x + y + z 2 ) k → e seja σ a fronteira do cilindro x 2 + y 2 ≤ 4 e 0 ≤ z ≤ 3 .Calcule ∬ σ F → ⋅ n →d S onde n → é a normal que aponta para fora do cilindro.

Calcule ∬ σ u → ⋅ n →d S sendo σ a fronteira de B com normal exterior n → sendo: c )B = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 } e u → = x i → + y j → + z 2 k → .

Seja σ o gráfico de f ( x , y ) = x 2 + y 2 ,x 2 + y 2 ≤ 1 e seja n → a normal a σ com componente z ≤ 0 . Seja F → x , y , z = x 2 y i → - x y 2 j → + k → , calcule ∬ σ F → ⋅ n →d S ,

Calcule ∬ σ u → ⋅ n →d S sendo σ a fronteira de B com normal exterior n → sendo: B = x , y , z ∈ R 3 0 ≤ x ≤ 1 ,0 ≤ y ≤ xe0 ≤ z ≤ 4 } e u → = x y i → + y z j → + z 2 k → .

Seja r → = x i → + y k → + z k → e seja B um compacto ao qual o teorema da divergência se aplica. Prove: v o lB = 1 3 ∬ σ r → ⋅ n →d S Onde σ é a fronteira de B com normal exterior n → .