Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 20
Teste a convergência ou divergência da série:
Passo 1
Olá, pessoal! Tudo bem?
Neste exercício, vamos analisar a série para determinar se ela converge ou diverge.
Para testarmos a convergência desta série, que tal utilizarmos o “Teste da Razão”? Temos expressões simples no numerador e no denominador, certo?
O Teste da Razão é especialmente útil quando temos séries com termos que envolvem exponenciais ou fatoriais. O teste diz que uma série converge se:
- Se , a série diverge.
- Se , o teste é inconclusivo.
Passo 2
Primeiro, temos que o termo geral da série é:
Vamos calcular o limite da razão entre termos consecutivos:
Calculando :
Passo 3
Agora, formamos a razão :
Simplificando os termos semelhantes:
Dividindo a expressão por , temos:
Passo 4
Agora, tomamos o limite quando tende ao infinito:
Quando tende ao infinito, e tendem a , então:
Como o nosso , concluímos, pelo Teste da Razão, que a nossa série é convergente!
Resposta
A série é convergnte.