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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.7 - Ex. 30

Teste a convergência ou divergência da série.

∑ j = 1 ∞ - 1 j j j + 5  

Passo 1

Tudo show contigo?

Vê só, a questão quer que, pelo melhor método, a gente defina a série abaixo em convergência ou divergência.

∑ j = 1 ∞ - 1 j j j + 5  

Bom, sabemos de que se trata de uma série alternada, porque ela tem essa cara aqui:

∑ n = 1 ∞   - 1 n b n

Pra essa série alternada convergir, ela atende a dois requisitos:

i lim n → ∞ ⁡ b n = 0

i i   b n   ≥ b n + 1

Passo 2

Vamos analisar o nosso requisito ( i )

Seja nosso b n :

b n = j j + 5

Então,

lim n → ∞ ⁡ j j + 5  

Substituindo n por ∞ :

∞ ∞ + 5 = ∞ ∞

Indeterminado! Por isso vamos manipular esse monstro aí.

Colocando j   em evidência e cancelando os fatores em comum:

lim n → ∞ ⁡ j 2 × 1 j j ( 1 + 5 j )  

Tirando j 2 da raiz quadrada:

l i m n → ∞ j 1 j j × ( 1 + 5 j )  

l i m n → ∞ 1 j ( 1 + 5 j )  

Agora, substituindo ∞ em j :

1 ∞ 1 + 5 ∞

Seja 1 ∞ = 0 , então:

0 1 + 5 ∞ = 0 1 + 0 = 0

Assim, a condição ( i ) é verdadeira: a série é convergente!

Passo 3

Agora vamos analisar a i i condição:

b n   ≥ b n + 1

Quem seria nosso b n + 1 ?

b n + 1 = ( j + 1 ) ( j + 1 ) + 5

Logo, temos

j j + 5 ≥ ( j + 1 ) ( j + 1 ) + 5

Pra gente entender a função decrescente, vamos derivar, sendo

f x = x x + 5

Ou seja,

f ' x = 5 - x 2 x x + 5 2

Para ser decrescente, então

5 - x 2 x x + 5 2 ≤ 0

Meio pelos extremos,

5 - x ≤ 0

x ≤ 5

Percebeu que nesse intervalo a série vai sendo decrescente? E que essa condição vai se tornar verdadeira? Portanto por essa condição também será convergente!

Resposta

∑ n = 1 ∞ - 1 j j j + 5   é   c o n v e r g e n t e

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