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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.7 - Ex. 21

Utilize coordenadas cilíndricas.

Calcule ∭ E x 2 d V , onde E é o sólido que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 , acimo do plano z = 0 e abaixo do cone z 2 = 4 x 2 + 4 y 2 .

Passo 1

Show de bola, galera....Pra resolver essa questão não tem mistério.

Basta nos lembrarmos do conceito de coordenadas cilíndricas...As relações entre coordenadas cilíndricas r , θ , z e coordenadas retangulares x , y , z são dadas da seguinte forma:

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ z = z

Beleza...Agora vamos analisar o enunciado e traduzir as informações que ele nos fornece em termos de coordenadas cilíndricas. Vamos lá?

Passo 2

Sabendo que x = r cos ⁡ θ e que y = r sen ⁡ θ , traduzimos a informação de que a região está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 como sendo:

x 2 ⏟ r cos ⁡ θ 2 + y 2 ⏟ r sen ⁡ θ 2 ≤ 1 ↔ r 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ ⏟ = 1 ≤ 1 ↔ 0 ≤ r ≤ 1

A informação de que a região está entre o plano z = 0 e o cone z 2 = 4 x 2 + 4 y 2 pode ser traduzida da seguinte forma:

0 ≤ z 2 ≤ 4 x 2 + 4 y 2 ↔ 0 ≤ z 2 ≤ 4 r 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ ⏟ = 1 ↔ 0 ≤ z ≤ 2 r

Além disso, como não temos restrição para o ângulo θ , temos que:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Assim, ficamos com a seguinte integral:

∭ E x 2 d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 2 r r cos ⁡ θ 2 r d z d r d θ

Passo 3

Calculando a integral:

∭ E x 2 d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 2 r r cos ⁡ θ 2 r d z d r d θ ⏟ d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 2 r r 3 cos 2 ⁡ θ d z d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r 4 cos 2 ⁡ θ d r d θ = 2 r 5 5 0 1 ⏟ 2 5 ∙ θ + sen ⁡ θ cos ⁡ θ 2 0 2 π ⏟ π = 2 π 5

Resposta

∭ E x 2 d V = 2 π 5

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