∭_W^() z d x d y d z , o n d e W = {(x , y , z) in R^3,x^2 + y^2 + z^2 = 1 , z = 0 , x^2 + y^2 = (1)/(4)} .

O resultado da integral é (9 pi)/(64) .

∭_W^() z d x d y d z , o n d e W = {(x , y , z) in R^3,x^2 +

Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.11 - Ex. 4a

Passo 1

Opa, falae, vamo resolver essa questão!

Nós queremos integrar na região W, mas que região é essa?! Vamos primeiro fazer um esboço dessa região.

Temos em azul um cilindro, que é dado por , e em vermelho a esfera dada por . Cara, a nossa região W está compreendida entre esse cilindro e entre a esfera, mas somente a parte positiva, pois .

Passo 2

Okay, agora que sabemos a região em que estamos trabalhando, vamos aplicar uma mudança de variáveis para ficar mais tranquilo. Vamos utilizar as coordenadas cilíndricas, daí:

Lembrando que o jacobiano das coordenadas cilíndricas é dado por .

Agora temos que ter nossos intervalos de integração.

Note que:

Daí, .

Cara, pra vamos ter o seguinte. A nossa região W está indo do nosso cilindro para a nossa esfera, ou seja, do raio do cilindro para o raio da esfera, assim .