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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 11c

Esboce o gráfico da função y = y (x) , x in R , Sabendo que

b ) (d^2 y)/(d x^2) = e^(- x) , y (0) = 0 e y^' (0) = - 1

Passo 1

Sendo a segunda derivada:

(d^2 y)/(d x^2) = e^(- x)

Ou seja, a primitiva de (d^2 y)/(d x^2)

(d y)/(d x) = int e^(- x) d t

Usando a substituição u = - x -> d u = - x d x , teremos:

- int e^u d u = - e^u + k

Voltando pra variável x :

- e^u + k = - e^(- x) + k

Passo 2

Agora precisamos de k

(d y)/(d x) = - e^(- x) + k

Pra isso vamos usar x = 0

(d y)/(d x) (0) = - e^(- (0)) + k = - 1 + k = k

O exercício nos deu que (d y)/(d x) (0) = 0 , então igualamos:

v (0) = - 1 = - 1 + k -> k = 0

Assim:

(d y)/(d x) = - e^(- x)

Passo 3

Se (d y)/(d x) = - e^(- x)

Então:

y (x) = int - e^(- x) d x

Vamos usar, novamente, a substituição u = - x -> d u = - d x

- int e^(- x) d x = - int (- e^u) d u = [e^u] + c

Voltando pra variável x :

[e^u] + c = e^(- x) + c

Assim:

y (x) = e^(- x) + c

y (0) = e^(- (0)) + c = 1 + c

E y (0) = 0

Assim, se igualarmos os valores de y (0) , teremos:

0 = 1 + c -> c = - 1

Logo:

y (x) = e^(- x) - 1

A função y = e^x é assim:

Já se subtraírmos 1 (o u s e j a y = e^x - 1) fica assim:

Agora se substituirmos x por – x , fica:

Assim fica o gráfico de y = e^(- x) - 1

Resposta

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