Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.4 - Ex. 1b
Estude a função dada com relação a máximo e mínimo no conjunto dado.
em:
Passo 1
Primeiro vamos dar uma olhada nessa região que ele deu:
No , essa parada representa um círculo de raio igual a , com centro na origem! Como tem esse “menor ou igual”, a região é toda a parte de dentro do círculo. Belezura!
Passo 2
Repara no seguinte: essa função não tem pontos críticos, por ser uma reta! Então, como não tem ponto crítico, o máximo e o mínimo vão estar na região da fronteira. Pra encontrar os pontos certinhos, vamos pegar as retas da forma da função que queremos estudar.
E aí, vamos tentar fazer essa reta se encontrar com a bordinha do círculo, porque aí estaríamos encostando em um “vértice”. Coloquei o vértice entre aspas porque como que uma circunferência pode ter vértice? Só se a gente considerar ela como uma linha poligonal com infinitos vértices, sacou? Mas a idéia é a mesma. Então vamos substituir essa reta na equação da circunferência.
Desenvolvendo,
Como essa reta vai ser tangente, a equação só pode ter uma solução, e então, .
Ajeitando,
E então,
As retas vão ser então:
Passo 3
Finalmente, pra achar os pontos, a gente volta na equação:
E vamos substituir os que encontramos.
:
Resolvendo o segundo grau, vamos encontrar:
E aí,
E pra :
Resolvendo o segundo grau, vamos encontrar:
E aí,
Prontinho, os nossos pontos são:
Passo 4
Falta só ver quem é de máximo e quem é de mínimo aí. Vamos substituir na função!
Então é ponto de mínimo e é ponto de máximo.
Resposta
é ponto de mínimo e é ponto de máximo