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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.8 - Ex. 15

Calcular ∬_R^() cos (x^2 + 9 y^2) d x d y , sendo R dada por x^2 + 9 y^2 <= 1 e x >= 0 .

Passo 1

A representação gráfica se dá:

Passo 2

Para facilitar a resolução da questão, utilizaremos a seguinte transformação:

x = u e 3 y = v -> x = u e y = (v)/(3)

O jacobiano dessa transformação será igual a 1:

J = |[[1,0],[0,(1)/(3)]]| = (1)/(3)

A nova figura se dará como um círculo de raio 1 centrado na origem, já que:

x^2 + 9 y^2 <= 1 -> u^2 + v^2 <= 1

Então, substituindo na equação dada, temos:

∬ cos ( u^2 + v^2 ) (1)/(3) d u d v

Nesse caso, as coordenadas polares se dão:

u = r cos theta ; v = r s e n theta ; u^2 + v^2 = r^2

Substituindo novamente. Obtemos:

∬ cos r^2 * (1)/(3) * r d r d theta

Com

0 <= r <= 1

- (pi)/(2) <= theta <= (pi)/(2)

Passo 3

Integrando para r :

(1)/(3) int_0^1 r cos r^2 d r = (1)/(6) s e n r^2

Aplicando os limites:

(1)/(6) (s e n 1 - s e n 0) = (1)/(6) s e n 1

Passo 4

Integrando para theta :

int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (1)/(6) s e n 1 d theta = (1)/(6) * theta * s e n 1

Aplicando os limites:

(1)/(6) * ((pi)/(2) + (pi)/(2)) * s e n 1 = (1)/(6) pi s e n 1

Resposta

(1)/(6) pi s e n 1

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Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∬ R f x , yd A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ D x yd A , onde D é o disco com centro na origem e raio 3 .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∫ ∫ R cos ⁡ x 2 + y 2d A , onde R é a região acima do eixo x e dentro da circunferência x 2 + y 2 = 9 .
Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a. ∫ π 2 π ∫ 4 7 rd r d θ
Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a. ∫ 0 π / 2 ∫ 0 4 cos ⁡ θ rd rd θ