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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.4 - Ex. 1b

Calcule

underset(t -> 0)(lim) vec F ( t )

onde

vec F (t) = ((tg 3 t)/(t) , (e^(2 t) - 1)/(t) , t^3)

Passo 1

Para calcular o limite de uma função de uma variável com imagem no R^n , calculamos o limite de cada coordenada separadamente.

Se vec F (t) = (x (t) , y (t) , z (t)) , vamos calcular primeiramente o limite de x

underset(t -> 0)(lim) (tg 3 t)/(t)

Temos neste caso uma indeterminação do tipo 0 // 0 , então vamos usar L’Hospital

= underset(t -> 0)(lim) (3 sec^2 3 t)/(1) = 3

Passo 2

Agora da coordenada y

underset(t -> 0)(lim) (e^(2 t) - 1)/(t)

Novamente temos uma indeterminação, vamos usar L’Hospital mais uma vez

= underset(t -> 0)(lim) (2 e^(2 t))/(1) = 2

Passo 3

E da coordenada z

underset(t -> 0)(lim) t^3 = 0

Então, temos que o limite da nossa função vec F quando t -> 0 é

underset(t -> 0)(lim) vec F ( t ) = (3,2 , 0)

Resposta

(3,2 , 0)

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