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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.2 - Ex. 39

Utilize coordenadas polares para determinar o limite. [Se r , θ são as coordenadas polares do ponto x , y , com r ≥ 0 , observe que r → 0 + quando x , y → 0,0 .]

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 + y 3 x 2 + y 2

Passo 1

E aí, pessoal. Tudo bem?

Aqui nessa questão nós vamos usar as cordenadas polares ( r , θ ) para obter o limite pedido.

Para resolver, vamos lembrar como escrevemos x   e y nas coordenadas polares e depois substituir na função f ( x , y ) dada. A partir daí conseguiremos calcular o limite.

Tranquilo? Vem comigo que eu te explico!

Passo 2

Nosso primeiro passo será lembrar a substituição que fazemos para trabalhar com coordenadas polares:

x = r ∙ cos ⁡ θ y = r ∙ sen ⁡ θ

Em seguida, aproveitando a dica no enunciado de que r → 0 + quando x , y → 0,0 , vamos reescrever o limite do enunciado substituindo x e y na função dada. Assim deixaremos tudo em função das coordenadas polares.

Fica da seguinte forma:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 + y 3 x 2 + y 2 = lim r → 0 + ⁡ ( r cos ⁡ θ ) 3 + r sen ⁡ θ 3 r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2

Passo 3

Resolvendo o limite:

lim r → 0 + ⁡ ( r cos ⁡ θ ) 3 + r sen ⁡ θ 3 r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 = lim r → 0 + ⁡ r 3 ( cos 3 ⁡ θ + sen 3 ⁡ θ ) r 2 ( cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ )

Na expressão acima, podemos usar a relação fundamental da trigonometria,

cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1

Aí ficamos com:

lim r → 0 + ⁡ ( r cos ⁡ θ ) 3 + r sen ⁡ θ 3 r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 = lim r → 0 + ⁡ r ( cos 3 ⁡ θ + sen 3 ⁡ θ )

lim r → 0 + ⁡ ( r cos ⁡ θ ) 3 + r sen ⁡ θ 3 r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 = 0

Resposta

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 + y 3 x 2 + y 2 = 0

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