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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.2 - Ex. 41

Utilize coordenadas polares para determinar o limite. [Se r , θ são as coordenadas polares do ponto x , y , com r ≥ 0 , observe que r → 0 + quando x , y → 0,0 .]

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ e - x 2 - y 2 - 1 x 2 + y 2

Passo 1

Show de bola, galera. Nosso primeiro passo será lembrar a substituição que fazemos para trabalhar com coordenadas polares:

x = r ∙ cos ⁡ θ y = r ∙ sen ⁡ θ

Em seguida, aproveitando a dica no enunciado de que r → 0 + quando x , y → 0,0 , vamos reescrever o limite do enunciado da seguinte forma:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ e - x 2 - y 2 - 1 x 2 + y 2 → ∴ lim r → 0 + ⁡ e - r 2 ( cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ ) ⏞ = 1 - 1 r 2 ( cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ ) ⏟ = 1

Passo 2

Resolvendo o limite:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ e - x 2 - y 2 - 1 x 2 + y 2 = lim r → 0 + ⁡ e - r 2 - 1 r 2 →     L ' H o p i t a l     lim r → 0 + ⁡ e - r 2 - 2 r 2 r = lim r → 0 + ⁡ - e - r 2 = - 1

Resposta

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ e - x 2 - y 2 - 1 x 2 + y 2 = - 1

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