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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 3.7 - Ex. 13b

Mostrar que os limites não existem:

b) underset([[x -> 0],[y -> 0]])(lim) (2 x)/(sqrt(x^2 + y^2))

Passo 1

Para provar que o limite não existe, podemos usar a Proposição 3.2 . 3 .

Se ( x , y ) de aproxima de ( 0 , 0 ) pelo eixo dos x , temos que y = 0 . Logo:

underset([[x -> 0^+],[y = 0]])(lim) (2 x)/(sqrt(x^2 + y^2)) = underset(x -> 0^+)(lim) (2 x)/(sqrt(x^2 + 0)) = underset(x -> 0^+)(lim) (2 x)/(sqrt(x^2)) = underset(x -> 0^+)(lim) (2 x)/(x) = 2

Se ( x , y ) de aproxima de ( 0 , 0 ) através de pontos da reta y = x . Logo:

underset([[x -> 0],[y = x]])(lim) (2 x)/(sqrt(x^2 + y^2)) = underset([[x -> 0],[y = x]])(lim) (2 x)/(sqrt(x^2 + x^2)) = underset([[x -> 0],[y = x]])(lim) (2 x)/(sqrt(2 x^2)) = underset([[x -> 0],[y = x]])(lim) (2 x)/(sqrt(2) x) = (2)/(sqrt(2))

Como os resultados são diferentes, temo s que pela proposição 3.2 . 3 o limite não existe.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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