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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 65

Usando o gradiente, encontrar uma equação para a reta tangente à curva x 2 - y 2 = 1 , no ponto ( 2 , 1 ) .

Passo 1

Nossa missão é calcular a reta tangente a essa curva. Bom, ele quer que use o gradiente, então quem somos nós pra negar, né? Olha, o gradiente é uma reta que é normal à curva em cada ponto, e por isso, ela é normal também à reta tangente! Então o que a gente vai fazer é calcular o gradiente naquele ponto e pegar uma reta normal a ele!

Passo 2

A curva é x 2 - y 2 = 1 , então vamos pegar a função:

f x ,   y = x 2 - y 2 - 1

O gradiente da função f → vai ser dado por:

g r a d   f → = ∇ f → = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y

Calculando as derivadas parciais:

∂ f ∂ x = 2 x

∂ f ∂ y = - 2 y

Então o gradiente vai ser:

∇ f → = ( 2 x ,   - 2 y )

Nesse ponto:

∇ f → 2 ,   1 = 2 2 ,   - 2

Essa é a direção do gradiente. A reta tangente é normal a ele, e sua direção, ou seja, o vetor diretor dela, vai ser:

n → = 2 ,   2 2

Viu? Basta trocar as componentes de lugar e trocar o sinal de uma delas.

Passo 3

Já temos um ponto em que a reta passa e o vetor diretor dela, então a equação da reta r tangente é:

r : P 0 + t n →

r :   2 ,   1 + 2 ,   2 2 t

Resposta

r :   2 ,   1 + 2 ,   2 2 t

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