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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.5 - Ex. 49d

Verificar se as funções dadas são diferenciáveis na origem:

d) f x , y = y 4 + 3 x 2 y 2 + 2 y x 3 x 2 + y 2 2 ,   ( x , y ) ≠ ( 0,0 )                       0 ,                             x , y = ( 0,0 )

Passo 1

Devemos verificar se as derivadas parciais existem na origem:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f 0 + ∆ x , 0 - f ( 0,0 ) ∆ x = lim x → 0 ⁡ 0 + 0 + 0 ∆ x 2 + 0 2 - 0 ∆ x = lim x → 0 ⁡ 0 ∆ x 5 = 0

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0,0 + ∆ y - f ( 0,0 ) ∆ y = lim y → 0 ⁡ ∆ y 4 + 0 + 0 0 + ∆ y 2 2 - 0 ∆ y = lim y → 0 ⁡ ∆ y 4 ∆ y 4 ∆ y = lim y → 0 ⁡ 1 ∆ y = ∞

Como ∂ f ∂ y 0,0 não existe, a função f não é diferenciável na origem.

Resposta

f não é diferenciável na origem.

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Mostre que a função é diferenciável achando valores ε 1 e ε 2 que satisfaçam à Definição 7. f x , y = x y - 5 y 2
Demonstre que, sef é uma função de duas variáveis diferenciável em ( a , b ) , então f é contínua em ( a , b ) . Sugestão: Mostre que lim Δ x , Δ y → 0,0 ⁡ f ( a + Δ x , b + Δ y ) = f ( a , b )
Mostre que a função é diferenciável achando valores ε 1 e ε 2 que satisfaçam à Definição 7. f x , y = x 2 + y 2
(a) A função corresponde ao gráfico da Figura 4. Mostre que f x ( 0,0 ) e f y ( 0,0 ) existem, mas f não é diferenciável em ( 0,0 ) . [Sugestão: Utilize o resultado do Exercício 45.](b) Explique por q
Mostre que, se z = f x ,y for diferenciável em x 0 = x 0 ,y 0 , então lim x - x 0 ⁡ f x - f x 0 - ∇ f x 0 ∙ x - x 0 x - x 0 = 0