Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando (x, y) tende ao ponto indicado:

b) f(x, y) = (x^2 * (y - 1)^2) / (x^4 + (y - 1)^4); P(0, 1)

Passo 1

Vamos supor que o limite não existe, assim para provar isso, podemos usar a Proposição 3.2 . 3 .

Se ( x ,   y ) de aproxima de ( 0 ,   1 ) pela reta y = x + 1 . Logo:

lim x → 0 y = x + 1 ⁡ x 2 y - 1 2 x 4 + y - 1 4 = lim x → 0 y = x + 1 ⁡ x 2 x + 1 - 1 2 x 4 + x + 1 - 1 4 = lim x → 0 y = x + 1 ⁡ x 4 2 x 4 = lim x → 0 y = x + 1 ⁡ 1 2 = 1 2

Se ( x ,   y ) de aproxima de ( 0 ,   0 ) pelo eixo dos y , temos que x = 0 . Logo:

lim x = 0 y → 1 ⁡ x 2 y - 1 2 x 4 + y - 1 4 = lim x = 0 y → 1 ⁡ 0 y - 1 2 0 + y - 1 4 = lim y → 1 ⁡ 0 y - 1 4 = lim y → 1 ⁡ 0 = 0

Como os resultados são diferentes, temos que pela proposição 3.2 . 3 o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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