Provar a propriedade (b) da proposição 3.3 . 2 .

Passo 1

A propriedade (b) diz o seguinte:

Se underset([[x -> x_0],[y -> y_0]])(lim) f ( x , y ) existe, e é um número real qualquer, então:

underset([[x -> x_0],[y -> y_0]])(lim) c * f ( x , y ) = c * underset([[x -> x_0],[y -> y_0]])(lim) f ( x , y )

Passo 2

Vamos considerar o seguinte limite:

underset([[x -> x_0],[y -> y_0]])(lim) f ( x , y ) = L

Também vamos considera um número real c . Queremos provar que:

underset([[x -> x_0],[y -> y_0]])(lim) c * f ( x , y ) = c * L

Vamos supor c != 0 .

Assim, para mostrar isso podemos usar a definição de limite:

Dado um epsilon > 0 existe delta > 0 tal que |c * f ( x , y ) - c * L| < epsilon sempre que 0 < sqrt((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2) < delta .

Passo 3

Podemos reorganizar |c * f ( x , y ) - c * L| da seguinte forma:

|c * f ( x , y ) - c * L| = |c| |f ( x , y ) - L|

Também por hipótese, da definição formal de limite temos que:

Dado um epsilon > 0 existe delta > 0 tal que |f ( x , y ) - L| < epsilon sempre que 0 < sqrt((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2) < delta .

Podemos fazer delta = (epsilon)/(|c|) , dessa forma podemos dizer que:

|f ( x , y ) - L| < (epsilon)/(|c|)

Assim temos:

|c| |f ( x , y ) - L| < epsilon

|c * f ( x , y ) - c * L| < epsilon

Com isso provamos que:

Dado um epsilon > 0 existe delta > 0 tal que |c * f ( x , y ) - c * L| < epsilon sempre que 0 < sqrt((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2) < delta .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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