Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.16 - Ex. 5
Demonstrar que a diferença entre e é menor ou igual a .
Passo 1
Nessa questão, o que a gente pode fazer é escrever a fórmula de Taylor para cada uma dessas parcelas e ver qual é a diferença entre eles. Uma das duas, ou , é constante, e a outra é variável, já que não sabemos fazer Taylor pra duas funções. Como ele disse que a diferença é menor ou igual a , provavelmente o que é a variável! Então vamos escrever o polinômio de Taylor pras duas.
Primeiro para o : vamos calcular o Taylor de grau, já que queremos a diferença no . Se liga que o é constante, então estamos derivando só em . Calculando as derivadas:
Por isso, o polinômio de Taylor vai ser:
Em torno de :
Agora vamos calcular o Taylor de , também pro grau. Se liga que o é constante, então estamos derivando só em .
Por isso, o polinômio de Taylor vai ser:
O que vem mais pra direita disso vai ser tudo . Em torno de :
Passo 2
Agora vamos calcular a diferença entre os dois, que representa a diferença entre as duas funções do enunciado.
Ou seja, a diferença entre eles, no pior dos casos, que é quando e , fica:
Portanto,
Fechou!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)