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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 7e

Calcule ∬ σ u → ⋅ n →   d S sendo σ a fronteira de B com normal exterior n → sendo:

e )   B é o paralelepípedo 0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1   e   0 ≤ z ≤ 1 e u → = x 3 i → + y 3 j → + z 3 k → .

Passo 1

Vamos aplicar o teorema de Gauss:

∬ σ u → ⋅ n →   d S = ∭ B d i v   u →   d x d y d z

Vamos calcular o divergente então:

d i v   u → = 3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2

Como nossa região é um paralelepípedo, é só a gente montar a integral assim:

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 d x d y d z

Passo 2

Vamos resolver a integral agora:

∫ 0 1 ∫ 0 1 3 x 3 3 + 3 y 2 x + 3 z 2 x 0 1 d y d z

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 + 3 y 2 + 3 z 2   d y d z

= ∫ 0 1 y + 3 y 3 3 + 3 z 2 y 0 1 d z

= ∫ 0 1 1 + 1 + 3 z 2   d z

= 2 z + 3 z 3 3 0 1

= 2 + 1

= 3

Prontinho! Essa é a resposta😉

Resposta

3

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Calcule o divergente do campo vetorial dado.vec F (x , y , z) = (x^2 + y^2 + z^2) a r c t g (x^2 + y^2 + z^2) vec k
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