Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 4
Seja e seja a superfície , , sendo a normal com componente . Calcule .
Passo 1
Vamos considerar o conjunto como a semi-esfera .
Temos que e vamos considerar um conjunto .
A fronteira de coincide com a imagem da cadeia , daí temos que fazer:
Passo 2
Vamos calcular essa última integral, a do divergente.
O divergente do campo é:
A integral então se resume a:
Que é o mesmo que o volume da semi-esfera, ou seja:
Passo 3
Agora vamos ver essa:
Como a componente de é zero, temos que essa integral resulta em:
Então, voltando a expressaõ do início:
E pronto!
Resposta
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Considere um escoamento no aberto Ω de R 3 , com velocidade v → = ( x , y , z ) , cujas componentes são supostamente de classe C1 em Ω. Suponha que derive de um potencial (isto é, que existe φ: Ω → ℝ,
Calcule o laplaciano da função φ dada.phi (x , y) = x y phi (x , y) = ln (x^2 + y^2) phi (x , y) = a r c t g (x)/(y) , y0 phi (x , y) = (1)/(4) e^(x^2 - y^2)
Considere um fluido em escoamento com velocidade v → x , y , z = yj → , y0 .O fluido é incompressível? Por quê?Determine ρ , que só dependa de y , que satisfaça a equação de continuidade.Suponha que a
Sejam u → , v → : Ω ⊂ R 3 → R 3 dois campos vetoriais e φ : Ω → R um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre φ ,u → ,v → e prove. (suponha u → = P i → + Q j → + R k →ev → = P 1 i →
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