Sejam , onde , é uma função de uma variável real derivável até a segunda ordem. Suponha .
- Mostre que
- Determine uma para que se tenha , com não constante.
(sugestão: suponha e observe que )
Passo 1
- Vamos começar montando a derivadas parciais da função:
- Usando a sugestão e supondo temos (do item anterior).
As derivadas de segunda ordem então são (regra da cadeia hein...):
Pelo enunciado, e .
Daí, montando o laplaciano:
E como , concluímos que , como nos pediu a letra 😉
Passo 2
Daí fazemos:
. Daí, . E portanto:
sendo uma constante. Aplicando a exponencial agora...
Segue que . Daí é só integrar...
Então, a função , com constantes resolve o problema.
Resposta
- Demonstração.