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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 1.4 - Ex. 13

Sejam φ x , y = f x y ,   y > 0 , onde f ( u ) , é uma função de uma variável real derivável até a segunda ordem. Suponha ∇ 2 φ = 0 .

  1. Mostre que 1 + u 2 f ' ' u + 2 u f u = 0
  2. Determine uma f para que se tenha ∇ 2 φ = 0 , com f não constante.

(sugestão: suponha f ' u > 0   e observe que ln ⁡ f ' u ' = f ' ' u f ' u . )

Passo 1

  1. Vamos começar montando a derivadas parciais da função:

    2. ∂ φ ∂ x = f ' u ∂ u ∂ x = f ' u 1 y

    ∂ φ ∂ y = f ' u ∂ u ∂ y = f ' u - x y 2

    As derivadas de segunda ordem então são (regra da cadeia hein...):

    ∂ 2 φ ∂ x 2 = 1 y f ' ' u ∂ u ∂ x = 1 y f ' ' u 1 y

    = 1 y 2 f ' ' ( u )

    ∂ 2 φ ∂ y 2 = 2 x y 3 f ' u + - x y 2 f ' ' u - x y 2

    = 2 x y 3 f ' u + x 2 y 4 f ' ' ( u )

    Pelo enunciado, ∇ 2 φ = 0 e u = x y .

    Daí, montando o laplaciano:

    ∇ 2 φ = 1 y 2 f ' ' u + 2 x y 3 f ' u + x 2 y 4 f ' ' ( u )

    = f ' ' u 1 y 2 + x 2 y 4 + 2 x y 3 f ' u = 0

    = 1 y 2 f ' ' u 1 + x 2 y 2 + 2 x y   f ' u = 0

    1 y 2 f ' ' u 1 + u 2 + 2 u f ' u = 0

    E como y > 0 , concluímos que f ' ' u 1 + u 2 + 2 u f ' u = 0 , como nos pediu a letra a 😉

    Passo 2

  2. Usando a sugestão e supondo f ' u > 0 temos f ' ' u f ' u = - 2 u 1 + u 2 (do item anterior).

Daí fazemos:

( ln ⁡ f ' u ' = ( - ln ⁡ 1 + u 2 ) ' . Daí, [ ln ⁡ 1 + u 2 f ' ( u ) ]   ' = 0 . E portanto:

ln ⁡ 1 + u 2 f ' u = k sendo k uma constante. Aplicando a exponencial agora...

Segue que f ' u = A 1 + u 2 ,   A = e k . Daí é só integrar...

Então, a função f u = A   a r c t g   u + B , com A   e   B constantes resolve o problema.

Resposta

  1. Demonstração.
  2. f u = A   a r c t g   u + B
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