Calcule a integral dupla.

15.

∬ R tan ⁡ θ 1 - t 2   d A ; R = x , y   0 ≤ θ ≤ π 3 ;   0 ≤ t ≤ 1 2  

Passo 1

Fala, minha galera!

A questão jogou na nossa cara uma integral dupla doidona, com informações sobre os limites de integração, e quer o resultado. Sinistrooo!

Vamos montar a integral iterada com os limites de integração:

∫ 0 π 3 ∫ 0 1 2 tan ⁡ θ 1 - t 2   d t d θ

Sabendo que nossa função pode ser escrita dessa forma:

tan ⁡ θ × 1 1 - t 2

Então podemos resolver cada integral separadamente, assim ó:

∫ 0 π 3 tan ⁡ θ   d θ   × ∫ 0 1 2 1 1 - t 2 d t

Beleza, é só a gente fazer cada uma e multiplicar no final.

Passo 2

Vamos resolver a primeira integral:

∫ 0 π / 3 tan ⁡ θ   d θ

[ - ln ⁡ cos ⁡ θ ) 0 π 3

Substituindo os limites de integração:

- ln ⁡ cos ⁡ π 3 - ( - ln ⁡ cos ⁡ 0 )

=   - ln ⁡ 1 2 + ln ⁡ 1

= - ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2 + 0

= ln ⁡ 2

Passo 3

Vamos pra segunda integral agora!

∫ 0 1 2 1 1 - t 2 d t

a r c s e n   t 0 1 2

Substituindo também os limites de integração:

= a r c s e n 1 2 - a r c s e n   0

= π 6 - 0

π 6

Passo 4

Beleza, só multiplicar o resultado das duas integrais agora!

∫ 0 π 3 tan ⁡ θ   d θ   × ∫ 0 1 2 1 1 - t 2 d t

ln ⁡ 2 × π 6

Prontinho!! 😉

Resposta

∫ 0 π 3 ∫ 0 1 / 2 tan ⁡ θ 1 - t 2   d t d θ = π 6 ln ⁡ 2

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