Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.2 - Ex. 1
Calcule a integral iterada.
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
A questão nos dá uma integral dupla e pede para encontrarmos seu valor:
Uma integral iterada é uma integral calculada sequencialmente, uma após a outra. Para resolver integrais duplas a gente começa “de dentro pra fora”. No nosso caso aqui, a integral de dentro é a que está em função de . O resultado passa a ser o integrando da integral de fora, aqui no caso, a que está em função de .
Vamos ver como fica esse processo!
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a função com relação a , já que essa é a integral “de dentro”, e considerar como uma constante. Resolvendo a integral:
Agora aplicamos os limites de integração e em :
Multiplicando os termos de :
Por fim, fazendo a subtração (lembra que como estamos integrando em relação a , estamos tratando como constante).
Então, nosso resultado é o novo integrando da função de fora em função de . Logo:
Passo 3
Agora é só integrar com relação a :
Tirando a constante para fora da função para simplificar a aplicação dos limites de integração:
Aplicamos os limites de integração e em .
Como e :
Fazendo a subtração e multiplicando pela constante :
Logo: