Calcule a integral iterada.

∫ 1 5 ∫ 0 x 8 x - 2 y d y d x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A questão nos dá uma integral dupla e pede para encontrarmos seu valor:

∫ 1 5 ∫ 0 x 8 x - 2 y d y d x

Uma integral iterada é uma integral calculada sequencialmente, uma após a outra. Para resolver integrais duplas a gente começa “de dentro pra fora”. No nosso caso aqui, a integral de dentro é a que está em função de y . O resultado passa a ser o integrando da integral de fora, aqui no caso, a que está em função de x .

Vamos ver como fica esse processo!

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função com relação a y , já que essa é a integral “de dentro”, e considerar x como uma constante. Resolvendo a integral:

∫ 0 x 8 x - 2 y d y = 8 x y - 2 y 2 2 0 x

Agora aplicamos os limites de integração x e 0 em y :

∫ 0 x 8 x - 2 y d y = 8 x x - x 2 - 8 x 0 - 0 2

Multiplicando os termos de x :

∫ 0 x 8 x - 2 y d y = 8 x 2 - x 2

Por fim, fazendo a subtração (lembra que como estamos integrando em relação a y , estamos tratando x como constante).

∫ 0 x 8 x - 2 y d y = 7 x 2

Então, nosso resultado 7 x 2 é o novo integrando da função de fora em função de x . Logo:

∫ 1 5 ∫ 0 x 8 x - 2 y d y d x = ∫ 1 5 7 x 2 d x

Passo 3

Agora é só integrar com relação a x :

∫ 1 5 7 x 2 d x = 7 x 3 3 1 5

Tirando a constante para fora da função para simplificar a aplicação dos limites de integração:

∫ 1 5 7 x 2 d x = 7 3 x 3 1 5

Aplicamos os limites de integração 5 e 1 em x 3 .

∫ 1 5 7 x 2 d x = 7 3 5 3 - 1 3

Como 5 3 = 125 e 1 3 = 1 :

∫ 1 5 7 x 2 d x = 7 3 125 - 1

Fazendo a subtração e multiplicando pela constante 7 / 3 :

∫ 1 5 7 x 2 d x = 868 3

Logo:

∫ 1 5 ∫ 0 x 8 x - 2 y d y d x = 868 3

Resposta

∫ 1 5 ∫ 0 x 8 x - 2 y d y d x = 868 3

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