Use um computador para investigar a família de superfícies z = x^2 + y^2 + cxy . Em particular, você deve determinar os valores de transição para os quais a superfície muda de um tipo de superfície quádrica para outro.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos utilizar um software matemático para plotar várias funções no seguinte formato:

z = x 2 + y 2 + c x y

Onde c é uma constante.

Aqui a gente vai aplicar alguns valores de c e ir plotando. Com isso, iremos analisar o que acontece quando alteramos o valor de c , certinho??

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos analisar os gráficos para alguns valores de c .

Para c = 0 :

Passo 3

Agora vamos analisar alguns valores positivos de c .

Para c = 1 :

Para c = 2 :

Para c = 3 :

Passo 4

Agora vamos analisar alguns valores negativos de c .

Para c = - 1 :

Para c = - 2 :

Para c = - 3 :

Passo 5

Podemos ver que o comportamento muda de maneira similar para valores de c positivos e negativos, porém em uma reta diferente.

De maneira geral para c < 2 temos um paraboloide padrão da forma ( x 2 + y 2 ) , mas achatada, dependendo do valor de c .

Para c = 2 temos uma elipse esticada, da maneira como uma função com uma das variáveis ao quadrado e a outra constante (ex: z = x 2 , superfície), mas rotacionado em uma direção dependendo do sinal de c .

Para c > 2 temos uma função que se comporta como um paraboloide padrão em uma direção e como um paraboloide negativo na direção perpendicular. Essas direções dependem do sinal de c .

Pela analise, podemos dizer que o ponto de transição é c = 2 .

Resposta

c = 2

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