Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.5 - Ex. 37

Use a continuidade para avaliar o limite.

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos avaliar o limite:

Usando a continuidade.

Ou seja, vamos precisar avaliar a continuidade da função que está dentro do limite:

e depois que mostrarmos que a função é contínua, podemos resolver o limite substituindo o valor para o qual está tendendo.

Pra avaliar a continuidade vamos precisar lembrar que os tipos de funções:

- polinômios

- logarítmicas

São contínuas em todo seu domínio.

E também lembrar que a composição de funções contínuas também é contínua.

Passo 2

Olhando pra função:

Repara primeiro dentro do ln... Temos a composição de duas funções do tipo polinômio.

Como polinômios são funções contínuas, então a composta entre as duas será contínua também... Maaaas só tem o detalhe que a de baixo não pode ser igual a zero, certo?

Então é continua em todos os reais, exceto quando .

Passo 3

Agora vamos analisar a função ln... Como é uma função logarítmica, sabemos que ela é contínua em todo o seu domínio...

Pra achar o domínio do ln temos que garantir que o que está dentro dele seja maior que zero:

Vamos tirar a raiz dos dois lados, maaas lembra que quando tiramos raiz de um número ao quadrado, ele pode ser positivo ou negativo, então representamos ele como módulo:

E na inequação quando aparece o módulo, podemos escrever como:

Maaas já sabemos que o não pode pra não ter divisão por zero, então o domínio fica:

E como a função logarítmica é contínua em seu domínio e a função de dentro também vimos, no passo anterior, que é contínua, então a composta também vai ser contínua no seu domínio (que acabamos de achar). E o valor pertence ao seu domínio.