Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.5 - Ex. 37
Use a continuidade para avaliar o limite.
Passo 1
Falaaa... tudo bem??
Nessa questão vamos avaliar o limite:
Usando a continuidade.
Ou seja, vamos precisar avaliar a continuidade da função que está dentro do limite:
e depois que mostrarmos que a função é contínua, podemos resolver o limite substituindo o valor para o qual está tendendo.
Pra avaliar a continuidade vamos precisar lembrar que os tipos de funções:
- polinômios
- logarítmicas
São contínuas em todo seu domínio.
E também lembrar que a composição de funções contínuas também é contínua.
Passo 2
Olhando pra função:
Repara primeiro dentro do ln... Temos a composição de duas funções do tipo polinômio.
Como polinômios são funções contínuas, então a composta entre as duas será contínua também... Maaaas só tem o detalhe que a de baixo não pode ser igual a zero, certo?
Então é continua em todos os reais, exceto quando .
Passo 3
Agora vamos analisar a função ln... Como é uma função logarítmica, sabemos que ela é contínua em todo o seu domínio...
Pra achar o domínio do ln temos que garantir que o que está dentro dele seja maior que zero:
Vamos tirar a raiz dos dois lados, maaas lembra que quando tiramos raiz de um número ao quadrado, ele pode ser positivo ou negativo, então representamos ele como módulo:
E na inequação quando aparece o módulo, podemos escrever como:
Maaas já sabemos que o não pode pra não ter divisão por zero, então o domínio fica:
E como a função logarítmica é contínua em seu domínio e a função de dentro também vimos, no passo anterior, que é contínua, então a composta também vai ser contínua no seu domínio (que acabamos de achar). E o valor pertence ao seu domínio.
Passo 4
Como mostramos que a função é contínua e pertence ao domínio, então agora é só calcular o limite substituindo o valor: