Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 27
Use coordenadas esféricas.
Encontre o volume da parte da esfera que fica entre os cones e .
Passo 1
Fala, pessoal! Como é que cês tão?
Nossa questão pede o volume de uma esfera com raio:
Que fica entre os cones descritos por:
E:
O enunciado pede para usarmos coordenadas esféricas. Para achar o volume de um sólido, precisamos da integral tripla:
Então, o que precisamos começar encontrando na nossa resolução são os limites de integração, que terão que estar em coordenadas esféricas. De coordenadas retangulares para esféricas temos as seguintes relações:
E:
Também usamos a equação:
Então, precisamos descrever nossa esfera em coordenadas cilíndricas e resolver nossa integral de volume “de dentro para fora”.
Vem!
Passo 2
Vamos encontrar nossos limites de integração:
Analisando a região dada no enunciado, através da esfera temos que
Como nosso sólido está entre dois cones descritos por :
Não temos nenhuma restrição para , logo
Dessa forma, podemos reescrever nossa integral:
Como:
Podemos substituir nossos limites de integração:
Pronto! Já temos a integral em coordenadas cilíndricas que representa o volume do sólido.
Passo 3
Agora basta calcularmos nossa integral:
Podemos agora separar as integrais conforme suas variáveis, sendo assim, temos:
Resolvendo simultaneamente a integral para as 3 coordenadas, temos:
Aplicando os limites de integração em cada variável:
Calculando os resultados:
Somando as frações:
Multiplicando nossos termos e simplificando:
Sendo assim, temos que:
Uhul! Conseguimos!