Utilize coordenadas esféricas.Calcule ∭ E x y z d V , onde E está entre as esferas ρ = 2 e ρ = 4 e acima do cone ϕ = π 3 .

∭ E x y z d V = ∫ 0 π 3 ∫ 0 2 π ∫ 2 4 cos ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ ρ 5 sen 3 ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ = 0

Enunciado

E aí, gente bonita. Tudo belezinha?

Então, precisamos, para resolver essa questão, utilizar as coordenadas esféricas para calcular essa integral aqui, ó:

Onde a região está entre as esferas

E acima do cone

Antes de resolver, vamos relembrar algumas informações sobre as coordenadas esféricas, belê?

Precisamos encontrar também nossos limites de integração antes de substituir tudo na nossa integral, já que é uma cunha esférica dada por:

Então, temos que:

Pronto, agora é só substituir:

Podemos organizar melhor, e assim teremos:

Agora que descobrimos nossa integral em função de coordenadas esféricas, podemos resolver as três separadamente e facilitar nossa vida:

Com a primeira vamos fazer pela técnica da substituição. Seja:

Fazendo a substituição ficamos com:

Substituindo pelos limites e Integración, teremos:

Com a segunda integral faremos uma substituição também:

Seja

Então:

Antes de substituir pelos limites de integração, sabemos quem é nosso , então:

E, por último, com a terceira integral:

Pronto, agora é só juntar:

Show de bolinha! 😉