Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.7 - Ex. 28

Utilize coordenadas esféricas.

Calcule ∭ E x y z d V , onde E está entre as esferas ρ = 2 e ρ = 4 e acima do cone ϕ = π 3 .

Passo 1

E aí, gente bonita. Tudo belezinha?

Então, precisamos, para resolver essa questão, utilizar as coordenadas esféricas para calcular essa integral aqui, ó:

∭ E x y z d V

Onde a região E está entre as esferas

ρ = 2

ρ = 4

E acima do cone

ϕ = π 3

Antes de resolver, vamos relembrar algumas informações sobre as coordenadas esféricas, belê?

x ,   y ,   z = ( ρ , θ , ϕ )

x =   ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y =   ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ ,

z =   ρ cos ⁡ ϕ

ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2

d V = ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

Precisamos encontrar também nossos limites de integração antes de substituir tudo na nossa integral, já que E é uma cunha esférica dada por:

E = ρ , θ , ϕ | a ≤ ρ ≤ b , α ≤ θ ≤ β , c ≤ ϕ ≤ d

Então, temos que:

2 ≤ ρ ≤ 4

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ ϕ ≤ π 3

Pronto, agora é só substituir:

∭ E x y z d V

∫ 0 π 3 ∫ 0 2 π ∫ 2 4 ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

Podemos organizar melhor, e assim teremos:

∫ 0 π 3 ∫ 0 2 π ∫ 2 4 cos ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ ρ 5 sen 3 ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ

Passo 2

Agora que descobrimos nossa integral em função de coordenadas esféricas, podemos resolver as três separadamente e facilitar nossa vida:

∫ 0 π 3 sen 3 ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 2 π cos ⁡ θ sen ⁡ θ d θ ∫ 2 4 ρ 5 d ρ

Com a primeira vamos fazer pela técnica da substituição. Seja:

u = sen ⁡ ϕ → d u = cos ⁡ ϕ d ϕ

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 0 π 3 sen 3 ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ

∫ 0 π 3 u 3 d u

u 4 4 0 3 2

Substituindo pelos limites e Integración, teremos:

3 2 4 4 - 0 4 4 = 9 64

Passo 3

Com a segunda integral faremos uma substituição também:

∫ 0 2 π cos ⁡ θ sen ⁡ θ d θ

Seja

u = sen ⁡ θ → d u = cos ⁡ θ d θ → d θ = d u c o s θ  

Então:

∫ 0 2 π cos ⁡ θ sen ⁡ θ d θ

∫ 0 2 π cos ⁡ θ u d u cos ⁡ θ

∫ 0 2 π u d u

u 2 2 0 2 π

Antes de substituir pelos limites de integração, sabemos quem é nosso u , então:

s e n 2   θ 2 0 2 π = 0

E, por último, com a terceira integral:

∫ 2 4 ρ 5 d ρ

ρ 6 6 2 4 = 4 6 6 - 2 6 6 = 672

Pronto, agora é só juntar:

∫ 0 π 3 sen 3 ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 2 π cos ⁡ θ sen ⁡ θ d θ ∫ 2 4 ρ 5 d ρ

9 64 ⋅ 0 ⋅ 672 = 0

Show de bolinha! 😉

Resposta

∭ E x y z d V = ∫ 0 π 3 ∫ 0 2 π ∫ 2 4 cos ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ ρ 5 sen 3 ⁡ ϕ d ρ d θ d ϕ = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas. ∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 ∫ 0 9 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 d z d y d x
Determine a massa da bola B dada por x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 se a densidade em qualquer ponto for proporcional à sua distância do eixo z.
Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas. ∫ - 2 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 ∫ x 2 + y 2 2 x z d z d x d y
Quando estudam a formação de cordilheiras, os geólogos estimam a quantidade de trabalho necessária para erguer uma montanha a partir do nível do mar. Considere uma montanha que tenha essencialmente o
Determine a massa e o centro de massa do sólido S limitado pelo paraboloide z = 4 x 2 + 4 y 2 e pelo plano z = a ( a0 ) , se S tem densidade constante K.