Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 29
Use coordenadas esféricas.
- Determine o volume do sólido que está acima do cone e embaixo da esfera .
- E depois encontre o centroide do sólido na parte a).
Passo 1
E aí, pessoal! Tudo tranquilo?
A questão tem duas partes:
A parte a) pede o volume do sólido acima do cone e embaixo da esfera
Das equações de transformação para coordenadas esféricas, temos:
Então vamos precisar dos limites de integração da integral do volume em coordenadas esféricas;
Com esses mesmos limites vamos calcular a parte b): o centroide desse sólido, que a gente pode achar usando a equação:
Onde é:
E os momentos em torno de cada eixo:
Vamos lá!
Passo 2
Analisando a região dada no enunciado, temos as seguintes restrições: , e . Dessa forma, podemos escrever a integral representando o volume do sólido como:
Iremos resolver a integral de forma iterada, sendo assim, começando por , temos:
Aplicando os limites de integração:
Antes de resolver a integral, devemos notar que, para , devemos aplicar uma integral por substituição. Sabemos que as integrais com formato:
São resolvidas por substituição, fazendo e a integral se torna:
Nesse caso, temos , então, resolvendo a integral em , temos:
Agora resolvendo para , temos:
Simplificando os termos:
Simplificando novamente:
E, finalmente, podemos resolver para , aplicando os limites de integração:
Sendo assim, temos:
Passo 3
Agora, para encontrar o centróide do sólido, precisamos encontrar os momentos de massa do mesmo e dividir pelo seu volume, para nossa sorte, como o sólido em estudo é uma esfera deslocada no eixo , por simetria do problema, temos que:
E precisamos calcular somente o momento de massa com relação ao eixo , para isso temos:
Resolveremos a integral também de forma iterada, começando por , temos:
Aplicando os limites:
Tirando a constante para fora e juntando potências de mesma base:
Agora, integrando para :
Aplicando os limites:
E, finalmente, resolvendo para :
Logo, temos que:
E, o centróide é dado por:
Substituindo pelos valores que encontramos:
Temos, enfim: