Um sólido está acima do cone z = x 2 + y 2 e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = z . Escreva uma descrição do sólido em termos de desigualdades envolvendo coordenadas esféricas.

Passo 1

Fala, galerinha! Tranquilidade?

Nossa questão quer que a gente descreva o sólido dado usando desigualdades de coordenadas esféricas. Esse sólido em questão é um cone com equação

z = x 2 + y 2

Abaixo da esfera de equação

x 2 + y 2 + z 2 = z

Quando falamos de coordenadas esféricas estamos falando de um sistema de 3 variáveis: ρ ,   θ e ϕ e funciona como esquematizado na imagem abaixo:

Esquema de representação de um ponto em coordenadas esféricas

A relação entre coordenadas retangulares e esféricas é dada por:

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ z = ρ cos ⁡ ϕ

E também:

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

Então, o que precisamos fazer aqui é analisar nossa região e reescrevê-la usando essas variáveis, expressando em forma de desigualdade o intervalo que cada uma delas percorre.

Vem ver como fica!

Passo 2

Sabemos que o sólido satisfaz essa desigualdade

z ≥ x 2 + y 2

pois está acima do cone.

Elevando ao quadrado dos dois lados temos para eliminarmos essa raiz:

z 2 ≥ x 2 + y 2

E aqui vai um truque sujo! Somando z 2 aos dois lados temos:

2 z 2 ≥ x 2 + y 2 + z 2

E olha só o que apareceu do lado direito! ρ 2 ! Das coordenadas esféricas, temos que:

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

Assim a desigualdade fica:

2 z 2 ≥ ρ 2

E como em coordenadas esféricas z = ρ   c o s ϕ podemos substituir na desigualdade:

cos 2 ⁡ ϕ ≥ 1 2

E tirando a raiz quadrada dos dois lados e racionalizando o lado direito vamos ter:

cos ⁡ ϕ ≥ 2 2

Ou seja! Como temos a parte de cima do cone, o ângulo ϕ vai variar de 0 até π / 4 !

Passo 3

Mas e ρ ? Bom, ele deve satisfazer essa relação:

x 2 + y 2 + z 2 ≤ z

Pois o sólido está abaixo da esfera! Substituindo pela relação:

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

Temos:

ρ 2 ≤ z

Substituindo:

z = ρ cos ⁡ ϕ

Ficamos com:

ρ 2 ≤ ρ cos ⁡ ϕ

Simplificando:

ρ ≤ cos ⁡ ϕ

Então, em coordenadas esféricas temos:

0 ≤ ρ ≤ cos ⁡ ϕ 0 ≤ ϕ ≤ π / 4

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Resposta

0 ≤ ρ ≤ cos ⁡ ϕ 0 ≤ ϕ ≤ π / 4

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