Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 22
Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Dentro da esfera e fora do cilindro .
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos dar uma analisada nesse exercício. Temos que calcular o volume de um sólido que está dentro de uma esfera e fora de um cilindro em coordenadas polares. Para isso, precisaremos primeiro escrever a função da esfera em e depois converter para coordenadas polares. Além disso, temos que encontrar os limites de integração, que vão vir do da equação do cilindro. Precisamos encontrar onde essas figuras se interceptam, e aí sim poderemos resolver a integral.
Passo 2
Lembre-se que para resolver em coordenadas polares, temos que escrever as equações em função de e de
Em coordenadas polares, temos que:
Onde:
Sendo assim, quando nos é dada a condição de que temos:
Sabemos que , logo:
Perceba que a esfera vai interceptar o plano no círculo .
Então, fazendo , temos:
Lembre-se que:
Então:
Que é o raio máximo da esfera. Para encontrar o limite inferior de integração vamos utilizar o cilindro que é a região interna:
Então
Sabemos que o volume do sólido é dado por:
Onde será a região delimitada por:
Passo 3
Agora é só desenvolver. Como:
Temos que:
Por simetria, podemos dizer que:
Resolvendo a integral “de dentro”, temos que aplicar integração por substituição. Chamaremos
, logoEntão teremos:
Substituindo, novamente, temos:
Aplicando os intervalos de integração:
Fazendo as operações matemáticas:
E por fim:
Essa é a solução da integral de “dentro”, agora precisamos integrar esse resultado em relação a para resolver a integral de “fora”.
Logo:
Resolvendo, agora, temos:
Aplicando os limites de integração:
Portanto o volume vale: