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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 12.6 - Ex. 9

(a) Encontre e identifique os cortes da superfície quádrica x 2 + y 2 - z 2 = 1 e explique por que o gráfico parece com o gráfico do hiperboloide de uma folha da Tabela 1 .

(b) Se trocarmos a equação em (a) para x 2 - y 2 + z 2 = 1 , como isso afeta o gráfico?

(c) E se trocarmos a equação em (a) para x 2 + y 2 + 2 y - z 2 = 0 ?

Passo 1

(a) Galera, pra gente identificar os cortes de uma superfície quádrica, temos que fazer cada uma das variáveis serem iguais a constantes, e ver o que acontece com a equação, beleza?

  • x = k :

    • x 2 + y 2 - z 2 = 1

    k 2 + y 2 - z 2 = 1

    y 2 - z 2 = 1 - k 2

    y 2 1 - k 2 - z 2 1 - k 2 = 1

    Isso nos daria uma hipérbole pra k ≠ ± 1 .

    Passo 2

    Vamos continuar:

  • y = k :

    • x 2 + k 2 - z 2 = 1

    x 2 - z 2 = 1 - k 2

    x 2 1 - k 2 - z 2 1 - k 2 = 1

    Novamente, uma hipérbole pra k ≠ ± 1 .

  • z = k :

x 2 + y 2 - k 2 = 1

x 2 + y 2 = 1 + k 2

Agora temos uma elipse, mais precisamente uma circunferência.

Passo 2

Agora que já temos os cortes, sabemos que o gráfico vai se parecer com esse gráfico de hiperboloide de uma folha:

Repare que nossos cortes verticais ( x = k e y = k ) são hipérboles, e o corte horizontal ( z = k ) é uma elipse, exatamente como no gráfico do hiperboloide de uma folha da Tabela 1 .

Passo 3

(b) Se trocarmos a equação para x 2 - y 2 + z 2 = 1 , estamos fazendo com que o corte elíptico seja em y = k , ou seja, é como se o hiperboloide do item anterior fosse girado, de forma que seu novo eixo fosse o eixo y . Veja:

Passo 4

(c) Show! Agora vamos tentar completar quadrados na nova equação:

x 2 + y 2 + 2 y - z 2 = 0  

x 2 + y 2 + 2 y + 1 - z 2 = 0 + 1

x 2 + y + 1 2 - z 2 = 1

Chegamos em uma equação parecidíssima com a do item (a), a única diferença então vai ser o o translado, isto é, o deslocamento de uma unidade no sentido negativo do eixo y :

Resposta

(a) x = k : h i p é r b o l e   p a r a   k ≠ ± 1

y = k : h i p é r b o l e   p a r a   k ≠ ± 1

z = k : e l i p s e   o u   c i r c u n f e r ê n c i a

(b) O hiperboloide é girado de modo que ele tenha eixo no eixo y .

(c) O hiperboloide é transladado uma unidade no sentido negativo do eixo y .

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