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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 22

Use a Definição 2.2 . 1 (com a mudança apropriada na notação) para obter a derivada pedida.

Encontre d V d r se V = 4 3 π r 3 .

Passo 1

Primeiros vamos usar a Definição 2.2 . 1 para encontrar a derivada:

d V d r = lim h → 0 ⁡ V r + h - V r h

Passo 2

Vamos então aplicar:

d V d r = lim h → 0 ⁡ V r + h - V r h = lim h → 0 ⁡ 4 3 π r + h 3 - 4 3 π r 3 h

Agora vamos manipular o limite:

lim h → 0 ⁡ 4 3 π r + h 3 - 4 3 π r 3 h = lim h → 0 ⁡ 4 3 π r 3 + 3 r 2 h + 3 r h 2 + h 3 - 4 3 π r 3 h =

= lim h → 0 ⁡ 4 3 π r 3 + 3 r 2 h + 3 r h 2 + h 3 - r 3 h = lim h → 0 ⁡ 4 3 π 3 r 2 h + 3 r h 2 + h 3 h

E por último vamos cancelar o termo h do numerador e do denominador e vamos aplicar o limite:

lim h → 0 ⁡ 4 3 π 3 r 2 h + 3 r h 2 + h 3 h = lim h → 0 ⁡ 4 3 π 3 r 2 + 3 r h + h 2 = 4 3 π 3 r 2 + 3 r ⋅ 0 + 0 2 = 4 π r 2

Resposta

d V d r = 4 π r 2

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