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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 57

Use a definição de derivada para encontra f ’ ( x ) , se f (x) = sqrt(4 x - 3) .

Passo 1

Pela definição de derivada:

f^' (x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (x + Delta x) - f ( x ))/(Delta x)

Passo 2

Aplicando a função dada no enunciado na definição:

f^' (x) = underset(Delta x -> 0)(l i m) (sqrt(4 (x + Delta x) - 3) - sqrt(4 x - 3))/(Delta x)

Multiplicando e dividindo por sqrt(4 (x + Delta x) - 3) + sqrt(4 x - 3)

f^' (x) = underset(Delta x -> 0)(l i m) (sqrt(4 (x + Delta x) - 3) - sqrt(4 x - 3))/(Delta x) . (sqrt(4 (x + Delta x) - 3) + sqrt(4 x - 3))/(sqrt(4 (x + Delta x) - 3) + sqrt(4 x - 3))

Isolando Delta x :

f^' (x) = underset(Delta x -> 0)(l i m) (4 (x + Delta x) - 3 - (4 x - 3))/(Delta x (sqrt(4 (x + Delta x) - 3) + sqrt(4 x - 3)))

Subtraindo os termos do numerador:

f^' (x) = underset(Delta x -> 0)(l i m) (4 Delta x)/(Delta x (sqrt(4 (x + Delta x) - 3) + sqrt(4 x - 3)))

Simplificando:

f^' (x) = underset(Delta x -> 0)(l i m) (4)/((sqrt(4 (x + Delta x) - 3) + sqrt(4 x - 3)))

Resolvendo o limite:

f^' (x) = (4)/((sqrt(4 x - 3) + sqrt(4 x - 3)))

f^' (x) = (2)/(sqrt(4 x - 3))

Resposta

f^' (x) = (2)/(sqrt(4 x - 3))

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