Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 48
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
E aê, galera! Tudo certo? Questão interessante de convergência de sequências.
Pra gente saber se uma sequência converge ou diverge, a gente precisa tentar achar o limite dela.
Então, vamos nesse primeiro passo entender um pouco da nossa abordagem para resolver essa questão: a sequência é limitada, pois seus valores variam entre -1 e 1. Quando temos uma sequência limitada, uma ótima estratégia de resolução é o uso do Teorema do Confronto, que vai possibilitar que a gente ache o limite e resolva nossa questão.
Vamos por partes então:
Passo 2
Relembrando do Teorema do Confronto (ou do Sanduíche):
O princípio é que se uma função está entre outras duas funções com o mesmo limite, então a função intermediária terá necessariamente o mesmo limite. Por essa razão, ele é conhecido como Teorema do Sanduíche.
Basicamente:
se e , então
Então para encontrar nossas funções, escrevemos nossa função limitada:
Como o que temos é , vamos dividir tudo por :
Agora que temos nossas duas funções. Pelo Teorema do Confronto:
Passo 3
Agora vamos calcular os limites de fato:
E o mesmo vale para nosso outro limite:
Já que cresce tanto que torna os valores da sequência muito pequenos. Então:
Logo,
Então, a sequência converge para , tá ok?
Resposta
Sequência convergente