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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.4 - Ex. 2

Seja z = x   e x 2 - y 2 .

  1. Calcule um valor aproximado para a variação Δ z em z , quando se passa de x = 1 e y = 1 para x = 1,01 e y = 1,002 .
  2. Calcule um valor aproximado para z , correspondente a x = 1,01 e y = 1,002 .

Passo 1

  1. Primeiramente encontramos a diferencial d z

    2. d z = z x x , y d x + z y ( x , y ) d y

    E então fazemos

    Δ z ≈ d z

    Precisamos então calcular as derivadas parciais

    z x = e x 2 - y 2 + 2 x 2 e x 2 - y 2

    z y = - 2 x y   e x 2 - y 2

    E a diferencial é

    d z = e x 2 - y 2 + 2 x 2 e x 2 - y 2   d x - 2 x y   e x 2 - y 2   d y

    Passo 2

    Calculamos agora a aproximação de Δ z com x = 1 , y = 1 , d x = 0,01 e d y = 0,002 .

    Δ z ≈ e 1 2 - 1 2 + 2   e 1 2 - 1 2   0,01 - 2   e 1 2 - 1 2   0,002

    Δ z ≈ 1 + 2   0,01 - 2 ⋅ 0,002

    Δ z ≈ 0,03 - 0,004

    Δ z ≈ 0,026

    Passo 3

  2. Para aproximar z quando x = 1,01 e y = 1,002 , fazemos

z = z 1,1 + Δ z

Calculamos então

z 1,1 = 1   e 1 - 1 = 1

E temos

z ≈ 1 + 0,026 = 1,026

Resposta

  1. Δ z ≈ 0,026

z ≈ 1,026

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