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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 34

Mostre que a função

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

É uma solução da equação diferencial

f ' ' x + f x = 0

Passo 1

Fala, galera!

A questão nos deu uma função já em série de potências e quer saber se ela é uma solução da equação diferencial que também nos deu.

Para mostrar isso, só precisamos derivar a série duas vezes e jogar na soma f ' ' x + f x = 0 . Derivando

f ' x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n x 2 n - 1 2 n ! = ∑ n = 1 ∞ - 1 n x 2 n - 1 2 n - 1 !

A série começa em n = 1 porque se começar em 0 o primeiro termo zera então temos que começar em 1 .

f ' ' x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n ( 2 n - 1 ) x 2 n - 2 2 n - 1 ! = ∑ n = 1 ∞ - 1 n x 2 n - 2 2 n - 2 !

Passo 2

Substituindo na soma

f ' ' x + f x =

∑ n = 1 ∞ - 1 n x 2 n - 2 2 n - 2 ! + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

Podemos reindexar uma das séries pra somá-las.

Reindexando a primeira, para começar em 0 , vamos fazer n = k + 1 , então a série vai começar em k = 0

∑ n = 1 ∞ - 1 n x 2 n - 2 2 n - 2 !

∑ k = 0 ∞ - 1 k + 1 x 2 ( k + 1 ) - 2 2 ( k + 1 ) - 2 !

∑ k = 0 ∞ - 1 k + 1 x 2 k + 2 - 2 2 k + 2 - 2 !

∑ k = 0 ∞ - 1 k + 1 x 2 k 2 k !

Podemos substituir na soma, mas com o n ao invés de k , já que não vai fazer diferença:

∑ n = 1 ∞ - 1 n x 2 n - 2 2 n - 2 ! + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 x 2 n 2 n ! + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

Podemos tirar um menos do - 1 n + 1 = - - 1 n

- ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n ! + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

Agora temos duas séries iguais, uma somando e outra subtraindo, então

- ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n ! + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n ! = 0

Logo, nossa série de potências é uma solução para f ' ' x + f x = 0

Resposta

A função em série de potências é uma solução.

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