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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.9 - Ex. 29

Use uma série de potências para aproximar a integral definida com a precisão de seis casas decimais.

∫ 0 1 3 x 2 t g - 1 x 4 d x

Passo 1

Inicialmente, lembramos do exemplo 7, que

t g - 1 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( x 2 n + 1 2 n + 1 )

Na equação acima substituímos a variável x por x 4 , já que na integral temos t g - 1 x 4 . Assim obteremos

t g - 1 ( x 4 ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 2 n + 1 2 n + 1 =   t g - 1 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( x 8 n + 4 2 n + 1 )

A série obtida acima irá substituir o termo t g - 1 x 4 na integral.

∫ 0 1 3 x 2 t g - 1 x 4 d x

= ∫ 0 1 3 x 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( x 8 n + 4 2 n + 1 ) d x = ∫ 0 1 3 ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( x 8 n + 6 2 n + 1 ) d x

Passo 2

Agora precisamos integrar a série “termo a termo”. Isso pode ser feito através do termo geral e terá como resultado

∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 2 n + 1 x 8 n + 7 8 n + 7 0 1 3

= C + x 7 7 - x 15 45 + x 23 115 - … 0 1 3

Se tomarmos C=0 e substituirmos os limites de integração teremos a seguinte soma infinita

= 1 3 7 ⋅ 7 - 1 3 15 ⋅ 45 + 1 3 23 ⋅ 115 - … + - 1 n 1 3 8 n + 7 2 n + 1 8 n + 7 + …

Passo 3

FORÇA! Tamo chegando ao fim!

Essa série infinita é o valor exato da integral definida, mas como é uma série alternada, podemos aproximar a soma utilizando o Teorema da Estimativa de Séries Alternadas. De acordo com esse teorema, se aproximarmos a soma da série pelo primeiro termo (com n = 0 ), o erro envolvido nessa estimativa será menor do que o módulo do termo seguinte (com n=1), que é o primeiro termo “negligenciado” da soma:

1 3 15 ⋅ 45 ≈ 1,5 × 10 - 9

Assim, o resultado final será

∫ 0 1 3 x 2 t g - 1 x 4 d x ≈ 1 3 7 ⋅ 7 ≈ 0,000065

Resposta

∫ 0 1 3 x 2 t g - 1 x 4 d x ≈ 0,000065

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