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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 13

13. (y - 1)^2 = (x + 4)^3 d e P_0 (- 3,2) a t é P_1 ( 0,9 ) .

Passo 1

Nós devemos encontrar o comprimento da curva dada.

 Nós temos:

(y - 1)^2 = (x + 4)^3

y = 1 + (x + 4)^((3)/(2))

(d y)/(d x) = (3)/(2) (x + 4)^((1)/(2))

Passo 2

Agora prosseguimos da seguinte maneira:

1 + ((d x)/(d y))^2 = 1 + ((3)/(2) (x + 4)^((1)/(2)))^2

= 1 + (9)/(4) ( x + 4 )

Passo 3

Agora, usaremos a fórmula do comprimento da curva. Entretanto, temos que observar que estamos integrando em relação a variável x, por isso, pegamos os intervalos de integração em função de x.

(x , y) = (- 3,2) -> ( 0,9 )

Assim, temos o intervalo de - 3 a 0 .

s = int_(- 3)^0 sqrt(1 + (9)/(4) ( x + 4 )) d x

Vamos resolver utilizando integrais por partes, tendo:

u = 1 + (9)/(4) ( x + 4 )

d u * (4)/(9) = d x

Assim,

= (4)/(9) int_(- 3)^0 sqrt(u) d u

Portanto,

= (4)/(9) . ((u^((3)/(2)))/((3)/(2)))

= (8)/(27) u^((3)/(2))

Voltando com a variável x

= (8)/(27) . ((1 + (9)/(4) (x + 4))^((3)/(2))|_(- 3)^o

= (8)/(27) . ((4 + (9 x + 36))^((3)/(2))|_(- 3)^o

= (8)/(27) . ((40 + 9 x)^((3)/(2))|_(- 3)^o

= (8)/(27) * (10^((3)/(2)) - ((13)/(4))^((3)/(2)))

= (80 sqrt(10) - 13 sqrt(13))/(27)

Resposta

Portanto, o comprimento da curva é (80 sqrt(10) - 13 sqrt(13))/(27) .

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