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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 9

Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.

Passo 1

Aplicando o método da substituição simples com u = s e n x e d u = c o s x d x , tem-se:

I = ∫ t g u   d u = ∫ s e n u c o s u d u

Fazendo outra substituição usando v = c o s u e d v = - s e n u d u :

I = ∫ 1 v - d v = - ∫ 1 v d v

I = - ln ⁡ v + C

Como a integral é indefinida, deve-se adicionar uma constante arbitrária ao resultado da integral.

Passo 2

Retornando a variável original:

I = - ln ⁡ cos ⁡ s e n x + C

Mas, pela propriedade de logaritmos:

I = ln ⁡ cos - 1 ⁡ s e n x + C

I = ln ⁡ sec ⁡ s e n x + C

Resposta

ln ⁡ sec ⁡ s e n x + C

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