Enunciado

  1. Use um gráfico para estimar os valores de máximo e mínimo absolutos da função com duas casas decimais.
  2. Use o calculo para encontrar os valores de máximo e mínimo exatos.

f x = cos ⁡ x 2 + sin ⁡ x                                                 ;     0 ≤ x ≤ 2 π

Passo 1

Fala meus queridões

Nessa questão temos a seguinte função:

f x = cos ⁡ x 2 + sen ⁡ x

Que é dada no intervalo

0 ≤ x ≤ 2 π

E queremos encontrar no gráfico qual o seu valor máximo e mínimo absoluto dentro do intervalo dado. Aí é basicamente olhar o gráfico e ver onde está o máximo e o mínimo da função dentro do intervalo.

Depois vamos usar o cálculo para encontrar esses pontos.

Para isso, vamos derivar a função e igualar a zero:

f ' x = 0

Os pontos de x que a derivada é zero são possíveis pontos de máximo e mínimo.

Depois que encontrarmos eles, vamos substituir o x na função para encontrar seus valores f x .

Depois vamos substituir o valor x dos intervalos na função e encontrar seus valores f X também, pois o máximo e o mínimo podem estar na extremidade do intervalo.

Por fim, com todos os valores encontrados, vamos verificar qual é o máximo e qual é o mínimo.

Bora lá

Passo 2

Pra inicio de resolução devemos plotar um gráfico para a função. Então é só escolhermos alguns pontos para x e acharmos o f ( x ) . Certinho??

O gráfico se comporta da seguinte forma:

Pelo gráfico, parece que o valor máximo absoluto é cerca de f 5,76 = 0,58 e o valor absoluto mínimo é f 3,67 = - 0,58 .

Passo 3

Agora, por meio do calculo, primeiro derivamos a função que é:

f x = cos ⁡ x 2 + sen ⁡ x

Como temos uma divisão de funções, vamos usar a regra do quociente, ficando com:

f ' ( x ) = ( - sin ⁡ x ) 2 + sin ⁡ x - ( cos ⁡ x ) ( cos ⁡ x ) 2 + sin ⁡ x 2

Realizando a multiplicação temos:

f ' x = - 2 sin ⁡ x - sin 2 ⁡ x - cos 2 ⁡ x 2 + sin ⁡ x 2

Aqui, podemos usar a seguinte relação trigonométrica:

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

Multiplicando ambos os lados por - 1 , temos:

- sin 2 ⁡ x - cos 2 ⁡ x = - 1

Substituindo na derivada, temos:

f ' x = - 2 sin ⁡ x - 1 2 + sin ⁡ x 2

Então se f ' x = 0 , temos que:

0 = - 2 sin ⁡ x - 1 2 + sin ⁡ x 2

Portanto,

0 = - 2 sin ⁡ x - 1

- 1 2 = sin ⁡ x

E os valores de x dentro do intervalo 0 ≤ x ≤ 2 π que possuem seno igual a - 0,5 ,são:

x = 7 π 6   210 º

x =   11 π 6   330 º

Passo 4

Agora vamos substituir os valores que encontramos no Passo 3 e também os valores de   x dos extremos do intervalo, para assim encontrar qual vai ser o máximo e o mínimo absoluto.

Com os valores do Passo 3 temos:

f 7 π 6 = cos ⁡ 7 π 6 2 + sin ⁡ 7 π 6

f 7 π 6 = - 3 2 2 - 1 2 = - 3 2 3 2

f 7 π 6 = - 1 3

E

f 11 π 6 = cos ⁡ 11 π 6 2 + sin ⁡ 11 π 6

f 11 π 6 = 3 2 2 - 1 2 = 3 2 3 2

f 11 π 6 = 1 3

Agora substituindo o valor dos extremos do intervalo 0 ≤ x ≤ 2 π

f 0 = cos ⁡ 0 2 + sin ⁡ 0 = 1 2 + 0 = 1 2

E

f 2 π = cos ⁡ 2 π 2 + sin ⁡ 2 π = 1 2 + 0 = 1 2

Como raíz de 3 é menor que 2, temos que:

1 3 > 1 2

Portanto,

f 11 π 6 = 1 3

é o nosso máximo absoluto.

E o nosso mínimo absoluto é:

f 7 π 6 = - 1 3

Finish!!

Resposta

  1. o valor máximo absoluto é cerca de f 5,76 = 0,58 e o valor absoluto mínimo é f 3,67 = - 0,58 ;
  2. o valor máximo absoluto é f 11 π 6 = 1 3 e o mínimo absoluto é f 7 π 6 = - 1 3 ..
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