Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 68

Use um gráfico para estimar os valores de máximo e mínimo absolutos da função com duas casas decimais.

Use o calculo para encontrar os valores de máximo e mínimo exatos.

Passo 1

Fala meus queridões

Nessa questão temos a seguinte função:

Que é dada no intervalo

E queremos encontrar no gráfico qual o seu valor máximo e mínimo absoluto dentro do intervalo dado. Aí é basicamente olhar o gráfico e ver onde está o máximo e o mínimo da função dentro do intervalo.

Depois vamos usar o cálculo para encontrar esses pontos.

Para isso, vamos derivar a função e igualar a zero:

Os pontos de que a derivada é zero são possíveis pontos de máximo e mínimo.

Depois que encontrarmos eles, vamos substituir o na função para encontrar seus valores .

Depois vamos substituir o valor dos intervalos na função e encontrar seus valores também, pois o máximo e o mínimo podem estar na extremidade do intervalo.

Por fim, com todos os valores encontrados, vamos verificar qual é o máximo e qual é o mínimo.

Bora lá

Passo 2

Pra inicio de resolução devemos plotar um gráfico para a função. Então é só escolhermos alguns pontos para e acharmos o . Certinho??

O gráfico se comporta da seguinte forma:

Pelo gráfico, parece que o valor máximo absoluto é cerca de e o valor absoluto mínimo é .

Passo 3

Agora, por meio do calculo, primeiro derivamos a função que é:

Como temos uma divisão de funções, vamos usar a regra do quociente, ficando com:

Realizando a multiplicação temos:

Aqui, podemos usar a seguinte relação trigonométrica:

Multiplicando ambos os lados por , temos:

Substituindo na derivada, temos:

Então se , temos que:

Portanto,

E os valores de dentro do intervalo que possuem seno igual a,são:

Passo 4

Agora vamos substituir os valores que encontramos no Passo 3 e também os valores de dos extremos do intervalo, para assim encontrar qual vai ser o máximo e o mínimo absoluto.

Com os valores do Passo 3 temos: