Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 27
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
Hey, pessoal! Nessa questão queremos determinar se a sequência do enunciado diverge ou converge, certo?
Para isso, uma das formas é calcularmos o limite dos termos da sequência. Daí, se os termos da sequência se aproximarem de um valor específico à medida que o índice aumenta indefinidamente, a sequência converge para esse limite. Se não, diverge. Belezura?
Antes de irmos para as contas, note que a sequência representa uma série de valores onde é um número natural, ou seja, assume valores como , , , e assim por diante...
Quando calculamos o limite dessa sequência à medida que se aproxima do infinito, estamos essencialmente analisando o comportamento de quando se torna cada vez maior.
A expressão representa um número positivo que diminui à medida que aumenta. Isso significa que à medida que tende ao infinito, tende a zero, concorda?
Então, temos:
Passo 2
Agora vamos calcular o
Vimos no passo anterior que . Portanto,
E sabemos que .
Ou seja, o limite da sequência à medida que tende ao infinito é igual a 1. Isso significa que os termos da sequência se aproximam de 1 à medida que aumenta indefinidamente. Portanto, a sequência converge para 1.
Resposta
Sequência convergente