Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 33
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, pessoal? Nessa questão precisamos determinar se a sequência do enunciado diverge ou converge.
Para isso, devemos aplicar o limite com tendendo ao infinito. Aqui vale relembrar um pouco da teoria sobre sequências. Assim como discutido na seção 11.1 do Stewart, temos que:
Se existir, então a sequência converge. Caso contrário, então a sequência diverge. Ou seja, vamos calcular
Belezura?
Passo 2
Agora, observe que alterna entre e conforme é ímpar ou par. Vamos analisar cada um desses dois casos:
Para ímpar:
Para par:
Em ambos os casos podemos observar que, quando o termo no denominador domina, então podemos simplificar:
Para ímpar:
Para par:
Passo 3
Agora, analisando quando , ambos os denominadores tendem a infinito.
Ou seja,
Para ímpar:
Para par:
Encontramos que o limite é finito, então a sequência converge para , beleza?
Resposta
Sequência convergente