Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

a_n = (-1)^(n-1) * n / (n^2 + 1)

Passo 1

Beleza, pessoal? Nessa questão precisamos determinar se a sequência do enunciado diverge ou converge.

Para isso, devemos aplicar o limite com n tendendo ao infinito. Aqui vale relembrar um pouco da teoria sobre sequências. Assim como discutido na seção 11.1 do Stewart, temos que:

Se lim n → ∞ ⁡ a n existir, então a sequência converge. Caso contrário, então a sequência diverge. Ou seja, vamos calcular

l i m n → ∞   a n = l i m n → ∞   - 1 n - 1   n n 2 + 1

Belezura?

Passo 2

Agora, observe que - 1 n - 1   alterna entre - 1 e 1 conforme n é ímpar ou par. Vamos analisar cada um desses dois casos:

Para n   ímpar:

l i m n → ∞   - 1 n - 1   n n 2 + 1 = l i m n → ∞   -   n n 2 + 1

Para n par:

l i m n → ∞   - 1 n - 1   n n 2 + 1 = l i m n → ∞     n n 2 + 1

Em ambos os casos podemos observar que, quando n → ∞ o termo n 2 no denominador domina, então podemos simplificar:

Para n   ímpar:

l i m n → ∞   -   n n 2 + 1 =   l i m n → ∞   - n n n 2 n + 1 n = l i m n → ∞   - 1 n + 1 n  

Para n par:

l i m n → ∞     n n 2 + 1 =   l i m n → ∞   n n n 2 n + 1 n = l i m n → ∞   1 n + 1 n  

Passo 3

Agora, analisando quando n → ∞ , ambos os denominadores n + 1 n ​ tendem a infinito.

Ou seja,

Para n   ímpar:

l i m n → ∞   - 1 n + 1 n = 0

Para n   par:

l i m n → ∞   1 n + 1 n = 0

Encontramos que o limite é finito, então a sequência converge para 0   , beleza?

Resposta

Sequência convergente

l i m n → ∞   a n = 0

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