Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 41

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

Passo 1

Beleza, galera? Pra gente saber se uma sequência converge ou diverge, a gente precisa tentar achar o limite dela. Temos nessa sequência dois termos de comportamento distinto, então seria mais fácil se pudéssemos simplicar essa expressão para facilitar nossa análise do limite.

Aqui vemos que tanto quanto tendem ao infinito, nos deixando com uma indeterminação

Uma forma de nos livramos dessa indeterminação é utilizar a Regra de l’Hopital, porém precisaremos aplicar o Teorema 3 do nosso livro. Vamos ver passo a passo como fica essa resolução:

Passo 2

Primeiro vamos aplicar o Teorema 3 que diz:

Se e quando é um inteiro, então

Em outras palavras, se conseguirmos calcular o limite dessa mesma função, podemos concluir que esse valor também é o limite da sequência.

Lembrando que estamos fazendo isso para aplicar a Regra de l’Hopital que vale para funções continuas e não para sequências.

Passo 3

Aplicação do Teorema 3:

Passo 4

Relembrando a Regra de l’Hopital, ela dizia que:

Em outras palavras, derivamos separadamente a expressão do numerador e do denominador e conseguimos determinar esse limite. No nosso caso então, teremos:

Se aplicarmos essa regra mais uma vez, ficamos com um limite ainda mais simples de se resolver.

Agora temos uma expressão onde o numerador é uma constante o denominador cresce indefinidamente quando , fazendo com o que limite tenda a zero.

Vale lembrar que a Regra de l’Hopital vale para a indeterminação que tínhamos, mas há algumas indeterminações para quais essa regra não se aplica, portanto vale sempre conferir esse detalhe antes de tentar aplicar o conceito.